integral substitusi dan parsial

Integral Substitusi dan Parsial

by

Intergral substitusi dan parsial merupakan metode yang bisa kamu gunakan dalam menyelesaikan permasalahan integral itu sendiri. Integral substitusi yaitu metode yang digunakan pada persoalan integral dimana pada bagian fungsi adalah turunan dari fungsi yang lainnya.

Sedangkan integral parsial digunakan ke dalam persoalan integral yang lebih kompleks. Biasanya, integral parsial akan digunakan ketika rumus atau metode yang tersedia sudah tidak bisa lagi digunakan.

Mau tahu lebih lanjut mengenai jenis integral tersebut? Berikut ini materi selengkapnya untuk kamu.

A. Integral Substitusi

1. Integral Substitusi Pada Fungsi Aljabar

Ciri-ciri soal yang bisa diselesaikan dengan rumus integral substitusi ialah memiliki faktor turunan dari faktor lainnya. Sedangkan teknik integral substitusi pada fungsi aljabar yaitu f(x) bisa diubah dalam bentuk k.(g(x))n.gI(x).

Perhatikan jika U= g(x) maka(x) atau dU= gI(x) .dx

Jika Maka integral tersebut bisa diselesaikan dengan memisalkan U= g(x) serta U= gI(x) dx sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

Hal tersebut berlaku dengan n ≠–1.

Namun apabilan n = -1, sehingga akan diperoleh:

. dU = 1n U + C

Contohnya yaitu:

Jika f(x) = (x4+5)3x3, untuk memperoleh integralnya yaitu dengan memisalkan: x4+5 = U serta = 4x3, sehingga x3 dx = 1/4 dU  .

Berdasarkan pemisalan di atas, sehingga persamaan intergralnya yaitu:

Apabila hasil diatas kemudian disubstitusikan dengan permisalan U maka akan diperoleh:

Contoh di atas adalah tehnik substitusi untuk integral tak tentu. Pada suatu kasus integral tertentu, dimana pada nilai interval a≤ b ≤c tertentu, sehingga intervalnya harus disubstitusi dalam interval baru bagi variabel U. contohnya f02 (x4 + 5)3 x3 dx, dengan pemisalan:

X4 + 5= U dan , sehingga x3 dx=   Agar persamaan integral dalam U bisa tercipta, maka interval 0≤ x ≤2 diubah menjadi:

  • X=0 → U= x4+5 = 04= 5= 5
  • X=2 → U= x4+5 =24+5 =21

Dari permisalan di atas, maka persamaan integralnya yaitu:

2. Integral Substitusi pada Fungsi Trigonometri

Pada beberapa kasus, trigonometri sebagai integran tidak dapat langsung diintegralkan layaknya rumus integral awal, sehingga diperlukan perubahan integral. Perubahan fungsi trigonometri bisa dilakukan seperti persamaan berikut ini:

  • sin2 A + cos2 A = 1
  • tan2 A + 1 = sec2 A
  • cot2 A + 1 = csc2 A
  • sin A cos A = ½ sin 2A
  • sin2 A = ½ – ½ cos 2A
  • cos2 A = ½ + ½ cos 2A
  • sin A cos B = ½ [sin (A + B) + sin (A – B)]
  • cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)]
  • cos A cos B = ½ [cos (A + B) + cos (A – B)]
  • sin A sin B = – ½ [cos (A + B) – cos (A – B)]

Seperti halnya fungsi aljabar, fungsi trigonometri bisa menggunakan rumus substitusi jika integran terdiri atas perkalian fungsi dengan fungsi turunan. Cara pengoperasiannya juga sama dengan fungsi aljabar. Contohnya jika 2x sin(x2 + 1)dx, untuk memperoleh integralnya yaitu dengan pemisalan:

X2 + 1= U serta , maka 2x dx= dU

Atas permisalan tersebut, sehingga persamaan integralnya jadi:

Apabila hasil integral tersebut disubstitusikan dengan permisalan U, maka akan diperoleh:

-cos U + C = -cos(x2+1) + C

Atau apabila fungsi turunannya merupakan fungsi trigonometri langsung, maka contohnya  akan memperoleh integralnya dengan memisalkan:

Cos x = U serta  sehingga sin x dx= -dU.

Dari pemisalan tersebut, sehingga persamaan integralnya yaitu:

3. Substitusi dengan Integran

Dengan teknik ini, bisa dimisalkan dengan yn = ax + b penyelesaian integral pada fungsi f(y) memakai teknik substitusi seperti pertama. Contohnya  dimisalkan menjadi: y2 = x + 3y2 ataupun y2 – 3 = x  sehingga diperoleh  ataupun 2y dx = dy.

Dari permisalan di atas, makan akan diperoleh persamaan integral yaitu:

4. Substitusi dengan Integran

Integral berintegran akar seperti yang tadi telah disinggung, bisa kamu kerjakan dengan pemisalan bentuk akar tersebut, yaitu:

B. Integral Parsial

Setelah integral substitusi, kini kita akan membahas integral parsial. Dimana integral parsial digunakan di saat teknik substitusi tidak bisa diterapkan. Adapun konsep dari integral parsial yaitu:

Jika y= U(x).V(x), sehingga U’.(x) + U(x).V’. (x)

Apabila y digantikan UV sehingga

d(UV) = V(x).U’(x)dx + U(x).V’(x)dx

Sebab, diketahui bahwa V’(x)dx = dV serta U’(x)dx = dU sehingga diperoleh persamaan:

d(UV) = v.dU + U.dV

U.dV = d(UV) – V.dU

Dengan kedua ruas persamaan tersebut diintegralkan, maka diperoleh rumus integral parsial:

Dalam menerapkan substitusi parsial, ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu pemilihan U serta dV yang tepat supaya pengintegralan membuahkan hasil. (dV) harus yang bisa diintegralkan dengan rumus, kemudian yang lain jadi U.

Dalam integral parsial tidak jarang bisa menurunkan U serta mengintegralkan  dV secara berulang, namun proses bisa diringkas lho. Contohnya pada  yaitu:

Sehingga diperoleh hasil:

= (x2 . Sin x) – (2x . cos x) + (2.-sin x) + C

= x2 sin x + 2x cos – 2 sin + C

Ya, kita telah selesai membahas mengenai integral substitusi dan integral parsial, selanjutnya yaitu contoh soal dan pembahasan seputar materi di atas. Yuk simak aja ya!

Contoh Soal Integral Substitusi dan Integral Parsial serta Pembahasannya

1. Contoh soal integral substitusi.

Tentukan hasil dari soal integral di bawah ini:

 2x sin 2x dx

Penyelesaian:

Misalnya U = cos 2x serta  = -2 sin 2x, sehingga dU= -2 sin 2x dx

–  sin 2x dx

Sehingga:

disubstitusikan menggunakan nilai U menjadi :

Contoh soal kedua:

Tentukan hasil dari soal di bawah ini!

Penyelesaian:

Nilai x = 3 tan  serta dx= 3sec2  d  serta x2= 9 sec2

Sehingga :

Menggunakan segitiga di atas, maka nilai sec serta tan dapat diketahui. Sehingga:

Nah, itu dia soal serta pembahasan mengenai integral substitusi dan integral parsial yang dapat kami sampaikan. Mempelajari suatu materi tentu saja lebih mudah melalui soal serta pembahasannya bukan? Jika kamu belum begitu paham dan mengerti, mengulangi materi terkait adalah satu langkah yang tepat untuk lebih menguasainya. Semangat dan selamat berlajar ya!

REKOMENDASI

  • Turunan Fungsi Aljabar Dalam matematika, ilmu aljabar mengambil peran yang cukup besar. Selain fungsi aljabar, saat duduk di bangku SMA, kamu juga akan disuguhi dengan materi turunan fungsi aljabar. Secara umum, turunan merupakan…
  • Passive Voice Kamu ingin fasih berbahasa Inggris? Ada satu hal yang tidak boleh kamu lewatkan, yaitu passive voice atau kalimat pasif. Bentuk kalimat yang satu ini sangat lazim digunakan dalam percakapan sehari-hari…
  • Benzena: Struktur, Sifat dan Manfaatnya Dalam Kehidupan… Tahukah kamu apa itu senyawa benzena? Senyawa benzene merupakan salah satu senyawa organik serta mempunyai rumus molekul C6H6 dan tersusun atas enam atom karbon yang saling berikatan satu dengan lainnya…
  • Teknik Analisis Data Kualitatif, Kuantitatif, Menurut Para… Teknik Analisis Data adalah suatu metode atau cara untuk mengolah sebuah data menjadi informasi sehingga karakteristik data tersebut menjadi mudah untuk dipahami dan juga bermanfaat untuk menemukan solusi permasalahan, yang…
  • Proses Fotosintesis pada Tumbuhan Proses Fotosintesis pada Tumbuhan - Tumbuhan merupakan salah makhluk hidup yang juga dapat tumbuh dan berkembang biak. Namun mereka mempunyai cara sendiri untuk bertahan hidup khususnya dalam hal makanan. Seperti…
  • Materi Limit Fungsi Aljabar & Trigonometri Jadi Lebih… Materi limit fungsi - Pasti kamu pernah mendengar kata limit, limited bukan? kata limit yang biasa kita dengar berarti sedikit atau mendekati, misalnya limited edition ini berarti persediaan yang sedikit…
  • Stoikiometri : Pengertian, Konsep, Rumus, Sifat Dasar &… Stoikiometri - Reaksi kimia tidak pernah jauh dengan yang namanya persamaan reaksi. Lantas apa hubungannya stoikiometri larutan dengan reaksi kimia? Kamu sudah nggak sabar ingin segera mengetahuinya? Di bawah ini…
  • Kaidah Pencacahan, Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Salah satu materi matematika yang sering kali dianggap sulit oleh para siswa, padahal metode pemahamannya cukup mudah adalah kaidah pencacahan, peluang, permutasian, dan kombinasi. Asalkan kamu paham rumus dan penerapan…
  • Termodinamika Belajar ilmu fisika memanglah sangat banyak dan luas sekali materinya. Kamu harus pasang mata, telinga, dan tingkat kefokusan tinggi untuk lebih memahami secara mendalam materi yang membutuhkan pemahaman secara utuh.…
  • Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan 3… Dalam ilmu matematika, Anda akan mengenal dua kalimat matematika dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan linear. Sistem persamaan linear sendiri terbagi menjadi sistem persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear…
  • Rumus Empiris dan Rumus Molekul Rumus Empiris dan Rumus Molekul - Setiap senyawa kimia bisa dinyatakan menggunakan rumus kima yang akan menunjukkan jumlah relatif dari atom-atom unsur yang ada pada senyawa tersebut. Rumus kimia yang…
  • Contoh Kalimat Persuasif : Pengertian, Ciri-ciri, Fungsi dan… Contoh kalimat persuasif - Apa itu kalimat persuasif ? Berikut adalah penjelasan lengkap mulai dari pengertian kalimat persuasif, ciri-ciri kalimat persuasif, fungsi kalimat persuasif, Jenis kalimat persuasif dan contoh kalimat…
  • Memahami Konsep Suku Banyak dan Nilainya dengan Substitusi… Suku Banyak - Tentunya, kamu sudah paham dengan istilah persamaan kuadrat, kan? Untuk menentukan unsur persamaan kuadrat tersebut, kamu bisa melakukan kuadrat sempurna, pemfaktoran, dan sebagainya. Namun, bagaimana caranya kamu…
  • Induksi Elektromagnetik Pasti teman-teman sudah mendengar istilah induksi elektromagnetik bukan? Ya, dalam ilmu fisika, materi ini berkaitan dengan arus listrik yang sering kamu temukan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk lebih memahami pengertian, rumus,…
  • Teks Negosiasi : Pengertian, Fungsi, Ciri-ciri, Struktur,… Apa itu teks negosiasi? berikut adalah pengertian, fungsi, ciri-ciri, struktur, kaidah/unsur kebahasaan teks negosiasi beserta pola penyajian dan faktor keberhasilan dari teks negosiasi. Oke, langsung saja simak penjelasan di artikel…
  • Geografi : Pengertian, Aspek, Konsep, Prinsip, & Pendekatan… Jurusan IPS pada tingkat SMA/sederajat terdiri dari beberapa mata pelajaran mulai dari akuntansi, ekonomi, hingga sejarah. Jika sangat penasaran dengan ilmu yang membahas tentang permukaan bumi, tentu Kamu bisa belajar…
  • Simple Present Tense Tense menjadi kebutuhan paling utama ketika kamu ingin mempelajari bahasa Inggris. Simple present tense menjadi bentuk tense yang pertama kali harus dipelajari. Perannya sangat penting untuk memudahkan kamu dalam mempelajari…
  • Barisan dan Deret : Pengertian, Rumus dan Contoh Soal Serta… Barisan dan Deret - Pernahkah kamu mendengar baris atau barisan? Mungkin yang lebih sering didenger adalah berbaris ya? Ketika mendengar perintah berbaris, apa yang akan kamu lakukan? Pasti berdiri tegak…
  • Contoh Kata Baku dan Tidak Baku : Pengertian, Penggunaan,… Contoh kata baku dan tidak baku - Ketika menonton televisi, ada banyak sekali ragam kata yang digunakan. Sebenarnya, kata-kata tersebut bisa dibagi menjadi dua, yaitu kata baku dan tidak baku.…
  • Past Perfect Continuous Tense Past perfect continuous tense merupakan salah satu bentuk tense yang akan menjelaskan kejadian di masa lampau. Setiap kejadian yang digambarkan dibentuk melalui beberapa subject yang khas dan berbeda dari tense…
  • Past Future Perfect Tense Past future perfect tense adalah bentuk sebuah tense yang menjelaskan tentang aktivitas yang tidak terjadi di masa lampau. Penjelasan pada tense yang digunakan di setiap kalimatnya harus dibentuk menggunakan rumus…
  • Present Continuous Tense Terdapat lebih dari 10 rumus tenses yang ada dan perlu untuk dipelajari. Dasar-dasar tenses berikutnya adalah present continuous tense sebagai salah satu bentuk tense yang menyatakan sebuah aksi. Dalam aksi…
  • Apa itu Konjungsi? Pengertian, Contoh Macam-macam Kata… Apa itu konjungsi ? konjungsi biasa disebut dengan kata penghubung, berikut adalah penjelasannya mulai dari pengertian, dan macam-macam kata penghubung beserta contohnya. Yang mana, dengan adanya pembahasan ini mudah-mudahan bisa…
  • √ Teks Tanggapan Kritis : Pengertian, Ciri, Fungsi, Tujuan,… Apa saja yang kamu ketahui mengenai teks tanggapan kritis? Teks ini merupakan sebuah teks yang isinya adalah pendapat dan juga gagasan, yang disampaikan oleh seseorang pada setiap persoalan atau kejadian…
  • Perbedaan Statistik Dan Statistika Dalam percakapan sehari-hari, kata-kata statistik dan statistika sangat umum digunakan. Statistik dan statistika merupakan dua kata yang hampir mirip dan banyak orang yang masih bingung tentang perbedaannya. Untuk mengetahui perbedaan…
  • Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah pernyataan yang mengartikan jika suatu garis lurus masuk dalam suatu persamaan. Karateristik dari persamaan garis lurus yakni memiliki variabel dengan kuadrat tertinggi satu. Garis lurus sendiri…
  • Relasi dan Fungsi: Pengertian, Contoh Soal dan Pembahasannya Relasi dan Fungsi - Untuk beberapa siswa, pelajaran matematika sering kali dianggap suatu pelajaran yang menakutkan. Padahal sebenarnya jika kita menyukai mata pelajaran tersebut, semuanya akan terasa begitu menyenangkan dan…
  • Past Future Tense Tense berbentuk future memiliki beberapa bagian dengan tenggang waktu yang berbeda. Past future tense memiliki aturan tersendiri sebagai rumus yang membentuk kalimatnya. Penjelasan mengenai tense ini berada pada jangka waktu…
  • Materi Bilangan Berpangkat Lengkap Materi Bilangan Berpangkat - Pernahkan kamu mendengar istilah bilangan berpangkat? Atau bahkan belum pernah mendengarnya sama sekali? Nah dalam kesempatan kali ini, kita akan bahas tuntas mengenai materi bilangan berpangkat,…
  • Kalimat Retoris : Pengertian, Fungsi, Ciri-ciri, dan Contoh… Kalimat retoris - Berikut adalah pengertian kalimat retoris, fungsi kalimat retoris, ciri-ciri kalimat retoris, dan contoh kalimat retoris, yang mana artikel kali ini akan membuat anda jadi lebih paham mengenai…

Leave a Comment