integral substitusi dan parsial

Integral Substitusi dan Parsial

by

Intergral substitusi dan parsial merupakan metode yang bisa kamu gunakan dalam menyelesaikan permasalahan integral itu sendiri. Integral substitusi yaitu metode yang digunakan pada persoalan integral dimana pada bagian fungsi adalah turunan dari fungsi yang lainnya.

Sedangkan integral parsial digunakan ke dalam persoalan integral yang lebih kompleks. Biasanya, integral parsial akan digunakan ketika rumus atau metode yang tersedia sudah tidak bisa lagi digunakan.

Mau tahu lebih lanjut mengenai jenis integral tersebut? Berikut ini materi selengkapnya untuk kamu.

A. Integral Substitusi

1. Integral Substitusi Pada Fungsi Aljabar

Ciri-ciri soal yang bisa diselesaikan dengan rumus integral substitusi ialah memiliki faktor turunan dari faktor lainnya. Sedangkan teknik integral substitusi pada fungsi aljabar yaitu f(x) bisa diubah dalam bentuk k.(g(x))n.gI(x).

Perhatikan jika U= g(x) maka(x) atau dU= gI(x) .dx

Jika Maka integral tersebut bisa diselesaikan dengan memisalkan U= g(x) serta U= gI(x) dx sehingga akan diperoleh persamaan sebagai berikut:

Hal tersebut berlaku dengan n ≠–1.

Namun apabilan n = -1, sehingga akan diperoleh:

. dU = 1n U + C

Contohnya yaitu:

Jika f(x) = (x4+5)3x3, untuk memperoleh integralnya yaitu dengan memisalkan: x4+5 = U serta = 4x3, sehingga x3 dx = 1/4 dU  .

Berdasarkan pemisalan di atas, sehingga persamaan intergralnya yaitu:

Apabila hasil diatas kemudian disubstitusikan dengan permisalan U maka akan diperoleh:

Contoh di atas adalah tehnik substitusi untuk integral tak tentu. Pada suatu kasus integral tertentu, dimana pada nilai interval a≤ b ≤c tertentu, sehingga intervalnya harus disubstitusi dalam interval baru bagi variabel U. contohnya f02 (x4 + 5)3 x3 dx, dengan pemisalan:

X4 + 5= U dan , sehingga x3 dx=   Agar persamaan integral dalam U bisa tercipta, maka interval 0≤ x ≤2 diubah menjadi:

  • X=0 → U= x4+5 = 04= 5= 5
  • X=2 → U= x4+5 =24+5 =21

Dari permisalan di atas, maka persamaan integralnya yaitu:

2. Integral Substitusi pada Fungsi Trigonometri

Pada beberapa kasus, trigonometri sebagai integran tidak dapat langsung diintegralkan layaknya rumus integral awal, sehingga diperlukan perubahan integral. Perubahan fungsi trigonometri bisa dilakukan seperti persamaan berikut ini:

  • sin2 A + cos2 A = 1
  • tan2 A + 1 = sec2 A
  • cot2 A + 1 = csc2 A
  • sin A cos A = ½ sin 2A
  • sin2 A = ½ – ½ cos 2A
  • cos2 A = ½ + ½ cos 2A
  • sin A cos B = ½ [sin (A + B) + sin (A – B)]
  • cos A sin B = ½ [sin (A + B) – sin (A – B)]
  • cos A cos B = ½ [cos (A + B) + cos (A – B)]
  • sin A sin B = – ½ [cos (A + B) – cos (A – B)]

Seperti halnya fungsi aljabar, fungsi trigonometri bisa menggunakan rumus substitusi jika integran terdiri atas perkalian fungsi dengan fungsi turunan. Cara pengoperasiannya juga sama dengan fungsi aljabar. Contohnya jika 2x sin(x2 + 1)dx, untuk memperoleh integralnya yaitu dengan pemisalan:

X2 + 1= U serta , maka 2x dx= dU

Atas permisalan tersebut, sehingga persamaan integralnya jadi:

Apabila hasil integral tersebut disubstitusikan dengan permisalan U, maka akan diperoleh:

-cos U + C = -cos(x2+1) + C

Atau apabila fungsi turunannya merupakan fungsi trigonometri langsung, maka contohnya  akan memperoleh integralnya dengan memisalkan:

Cos x = U serta  sehingga sin x dx= -dU.

Dari pemisalan tersebut, sehingga persamaan integralnya yaitu:

3. Substitusi dengan Integran

Dengan teknik ini, bisa dimisalkan dengan yn = ax + b penyelesaian integral pada fungsi f(y) memakai teknik substitusi seperti pertama. Contohnya  dimisalkan menjadi: y2 = x + 3y2 ataupun y2 – 3 = x  sehingga diperoleh  ataupun 2y dx = dy.

Dari permisalan di atas, makan akan diperoleh persamaan integral yaitu:

4. Substitusi dengan Integran

Integral berintegran akar seperti yang tadi telah disinggung, bisa kamu kerjakan dengan pemisalan bentuk akar tersebut, yaitu:

B. Integral Parsial

Setelah integral substitusi, kini kita akan membahas integral parsial. Dimana integral parsial digunakan di saat teknik substitusi tidak bisa diterapkan. Adapun konsep dari integral parsial yaitu:

Jika y= U(x).V(x), sehingga U’.(x) + U(x).V’. (x)

Apabila y digantikan UV sehingga

d(UV) = V(x).U’(x)dx + U(x).V’(x)dx

Sebab, diketahui bahwa V’(x)dx = dV serta U’(x)dx = dU sehingga diperoleh persamaan:

d(UV) = v.dU + U.dV

U.dV = d(UV) – V.dU

Dengan kedua ruas persamaan tersebut diintegralkan, maka diperoleh rumus integral parsial:

Dalam menerapkan substitusi parsial, ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu pemilihan U serta dV yang tepat supaya pengintegralan membuahkan hasil. (dV) harus yang bisa diintegralkan dengan rumus, kemudian yang lain jadi U.

Dalam integral parsial tidak jarang bisa menurunkan U serta mengintegralkan  dV secara berulang, namun proses bisa diringkas lho. Contohnya pada  yaitu:

Sehingga diperoleh hasil:

= (x2 . Sin x) – (2x . cos x) + (2.-sin x) + C

= x2 sin x + 2x cos – 2 sin + C

Ya, kita telah selesai membahas mengenai integral substitusi dan integral parsial, selanjutnya yaitu contoh soal dan pembahasan seputar materi di atas. Yuk simak aja ya!

Contoh Soal Integral Substitusi dan Integral Parsial serta Pembahasannya

1. Contoh soal integral substitusi.

Tentukan hasil dari soal integral di bawah ini:

 2x sin 2x dx

Penyelesaian:

Misalnya U = cos 2x serta  = -2 sin 2x, sehingga dU= -2 sin 2x dx

–  sin 2x dx

Sehingga:

disubstitusikan menggunakan nilai U menjadi :

Contoh soal kedua:

Tentukan hasil dari soal di bawah ini!

Penyelesaian:

Nilai x = 3 tan  serta dx= 3sec2  d  serta x2= 9 sec2

Sehingga :

Menggunakan segitiga di atas, maka nilai sec serta tan dapat diketahui. Sehingga:

Nah, itu dia soal serta pembahasan mengenai integral substitusi dan integral parsial yang dapat kami sampaikan. Mempelajari suatu materi tentu saja lebih mudah melalui soal serta pembahasannya bukan? Jika kamu belum begitu paham dan mengerti, mengulangi materi terkait adalah satu langkah yang tepat untuk lebih menguasainya. Semangat dan selamat berlajar ya!

REKOMENDASI

  • Past Future Continuous Tense Past future continuous tense merupakan satu dari bentuk past tenses yang harus dipelajari. Kondisi yang digambarkan pada penjelasan aksi atau kejadiannya dalam bentuk yang tidak nyata atau berandai-andai. Pengolahan kalimat…
  • Hukum Kekekalan Energi Sesuatu yang sifatnya tidak berubah dapat disebut dengan kekal, sehingga apabila terdapat suatu hukum yang menyatakan bahwa energi tidak dapat mengalami perubahan serta kekal disebut dengan hukum kekekalan energi. Sehingga…
  • Materi Irisan Dua Lingkaran Irisan Dua lingkaran - Materi lingkaran dalam pelajaran matematika bisa dikatakan sebagai salah satu materi paling rumit. Di samping banyaknya rumus yang harus kamu hafalkan, banyak teori perhitungan yang harus…
  • Turunan Fungsi Aljabar Dalam matematika, ilmu aljabar mengambil peran yang cukup besar. Selain fungsi aljabar, saat duduk di bangku SMA, kamu juga akan disuguhi dengan materi turunan fungsi aljabar. Secara umum, turunan merupakan…
  • Materi Teks Eksplanasi Lengkap Materi teks eksplanasi - Berikut adalah pengertian, fungsi, ciri-ciri, struktur, kaidah kebahasaan teks eksplanasi dan cara membuatnya. Yuk simak pembahasantentang materi teks eksplanasi yang sudah pastiguna.com kemas dengan bahasa yang…
  • Matriks Dasar dan Operasi Matriks: Ringkasan Materi Lengkap Pada materi dasar matematika, mungkin kamu akan banyak belajar tentang penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian ataupun teori geometri dasar. Namun tahukan kamu, jika perasi dasar layaknya perkalian dan penjumlahan dasar memang…
  • Rumus Empiris dan Rumus Molekul Rumus Empiris dan Rumus Molekul - Setiap senyawa kimia bisa dinyatakan menggunakan rumus kima yang akan menunjukkan jumlah relatif dari atom-atom unsur yang ada pada senyawa tersebut. Rumus kimia yang…
  • Organel Sel Organel sel adalah benda berbentuk solid yang dapat ditemukan di dalam bagian sitoplasma. Kemudian berfungsi untuk mendukung kegiatan kehidupan bagi organisme yang mengandung sel tersebut. Setiap struktur organel sel memilki fungsi…
  • Struktur Sosial : Pengertian, Bentuk, Unsur, Ciri, Fungsi,… Struktur Sosial - Sejatinya, manusia tidak bisa hidup sendiri dan akan selalu membutuhkan orang lain. Dari awal seorang manusia lahir hingga meninggal tak akan luput dari bantuan orang lain. Contohnya…
  • Alat Optik Manusia mempunyai indera penglihatan berupa mata. Mata termasuk alat optik alami yang berfungsi untuk melihat dan mengamati benda atau objek secara nyata. Alat-alat optik mempunyai berbagai jenis dan fungsi yang…
  • Geografi : Pengertian, Aspek, Konsep, Prinsip, & Pendekatan… Jurusan IPS pada tingkat SMA/sederajat terdiri dari beberapa mata pelajaran mulai dari akuntansi, ekonomi, hingga sejarah. Jika sangat penasaran dengan ilmu yang membahas tentang permukaan bumi, tentu Kamu bisa belajar…
  • Apa itu Konjungsi? Pengertian, Contoh Macam-macam Kata… Apa itu konjungsi ? konjungsi biasa disebut dengan kata penghubung, berikut adalah penjelasannya mulai dari pengertian, dan macam-macam kata penghubung beserta contohnya. Yang mana, dengan adanya pembahasan ini mudah-mudahan bisa…
  • Simple Future Tense Simple future tense yang sifatnya menjelaskan kejadian di masa depan maka penting untuk digunakan pada setiap kalimat. Ada hal-hal yang membangun bagi tense ini dengan memerhatikan setiap bagiannya. Termasuk untuk…
  • Stoikiometri : Pengertian, Konsep, Rumus, Sifat Dasar &… Stoikiometri - Reaksi kimia tidak pernah jauh dengan yang namanya persamaan reaksi. Lantas apa hubungannya stoikiometri larutan dengan reaksi kimia? Kamu sudah nggak sabar ingin segera mengetahuinya? Di bawah ini…
  • Contoh Kalimat Persuasif : Pengertian, Ciri-ciri, Fungsi dan… Contoh kalimat persuasif - Apa itu kalimat persuasif ? Berikut adalah penjelasan lengkap mulai dari pengertian kalimat persuasif, ciri-ciri kalimat persuasif, fungsi kalimat persuasif, Jenis kalimat persuasif dan contoh kalimat…
  • Teks Cerpen : Pengertian, Ciri, Struktur, Unsur Intrinsik,… Teks Cerpen - Cerita pendek atau yang biasa di sebut dengan cerpen adalah sebuah karya yang akan kami bahas lengkap mulai dari pengertian, ciri-ciri, struktur, unsur instrinsik dan ekstrinsik, beserta…
  • Simple Past Tense Untuk mempelajari bentuk tense, mengenal jenis serta aturan atau rumusnya merupakan hal yang penting. Kamu bisa menggunakan beberapa tense dan di pasangkan dengan sebuah kalimat. Simple past tense dibuat dengan…
  • Mobilitas Sosial : Pengertian, Jenis, Karakteristik, Faktor,… Mobilitas Sosial - Dalam kehidupan masyarakat Indonesia terdapat hierarki sosial, dengan adanya hierarki sosial itu diumpamakan sebagai tangga. Ada beberapa individu yang tersebar pada tingkatan tangga tersebut, yang menyebar di…
  • Materi Limit Fungsi Aljabar & Trigonometri Jadi Lebih… Materi limit fungsi - Pasti kamu pernah mendengar kata limit, limited bukan? kata limit yang biasa kita dengar berarti sedikit atau mendekati, misalnya limited edition ini berarti persediaan yang sedikit…
  • Kalimat Retoris : Pengertian, Fungsi, Ciri-ciri, dan Contoh… Kalimat retoris - Berikut adalah pengertian kalimat retoris, fungsi kalimat retoris, ciri-ciri kalimat retoris, dan contoh kalimat retoris, yang mana artikel kali ini akan membuat anda jadi lebih paham mengenai…
  • Pembahasan Persamaan Trigonometri serta Contoh Soalnya Persamaan trigonometri adalah jenis persamaan yang memuat fungsi trigonometri pada sudut yang nilainya belum diketahui. Kalau kamu sudah pernah mempelajari tentang persamaan kuadrat atau persamaan linear, sebetulnya, persamaan trigonometri tidak…
  • Passive Voice Kamu ingin fasih berbahasa Inggris? Ada satu hal yang tidak boleh kamu lewatkan, yaitu passive voice atau kalimat pasif. Bentuk kalimat yang satu ini sangat lazim digunakan dalam percakapan sehari-hari…
  • Yuk Belajar Tentang Materi Vektor Matematika Secara Cepat… Pengertian Vektor matematika adalah suatu besaran dengan arah, vektor tersebut digambarkan dengan panah yang arahnya menunjukkan ke arah vektor dan panjang garisnya merupakan besar vektor. Jika sebuah vektor dimulai dari…
  • Teks Negosiasi : Pengertian, Fungsi, Ciri-ciri, Struktur,… Apa itu teks negosiasi? berikut adalah pengertian, fungsi, ciri-ciri, struktur, kaidah/unsur kebahasaan teks negosiasi beserta pola penyajian dan faktor keberhasilan dari teks negosiasi. Oke, langsung saja simak penjelasan di artikel…
  • Apa itu kata? Pengertian, Tujuan, Fungsi, Jenis-Jenis Kata… Apa itu kata? Tahukah anda apa yang dimaksud dengan kata? berikut adalah pengertian, jenis-jenis kata beserta contohnya lengkap hanya untuk Anda. Dalam berkehidupan sosial tentu kamu selalu melakukan komunikasi baik…
  • Present Perfect Continuous Tense Bentuk tense yang berbeda di haruskan untuk mematuhi aturan dalam pembuatan kalimatnya. Terdapat banyak bentuk tense salah satunya adalah present perfect continuous tense sebagai bentuk tense yang sering digunakan. Selain…
  • Apa itu Teks Eksposisi? Berikut adalah Pengertian, Fungsi,… Apa itu teks eksposisi? berikut adalah pengertian, fungsi, ciri-ciri, struktur beserta unsur kebahasaan teks eksposisi dan apa saja jenis-jenisnya? Langsung saja ya, kita bahas satu per satu di materi teks…
  • Induksi Elektromagnetik Pasti teman-teman sudah mendengar istilah induksi elektromagnetik bukan? Ya, dalam ilmu fisika, materi ini berkaitan dengan arus listrik yang sering kamu temukan dalam kehidupan sehari-hari. Untuk lebih memahami pengertian, rumus,…
  • Barisan dan Deret : Pengertian, Rumus dan Contoh Soal Serta… Barisan dan Deret - Pernahkah kamu mendengar baris atau barisan? Mungkin yang lebih sering didenger adalah berbaris ya? Ketika mendengar perintah berbaris, apa yang akan kamu lakukan? Pasti berdiri tegak…
  • Apa itu Kalimat Sumbang? Apa itu Kalimat Sumbang - Berikut adalah pembahasan mengenai pengertian, ciri-ciri, contoh dan bagaimana cara menemukan kalimat sumbang. In sha allah disini akan dijelaskan secara lengkap mengenai kalimat sumbang. Dalam…

Leave a Comment