Materi Persamaan Kuadrat : Rumus ABC, Contoh Soal Dan Penyelesaiannya

Pengertian persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel-variabel yang memiliki pangkat paling tinggi dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat ialah:

ax2 + bx + c = 0

Dari persamaan di atas, diketahui a dan b adalah koefisien dan c merupakan konstanta, serta a tidak sama dengan 0 atau termasuk pertidaksamaan dari 0.

Proses untuk memecahkan atau menyelesaikan persoalan dari sebuah persamaan sendiri biasanya disebut akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar adalah nilai dari variabel x atau y yang sesuai persamaan tersebut. Dengan kata lain, nilai tersebut bisa disubstitusikan dalam persamaan tersebut dan menghasilkan nilai nol.

Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Dalam ilmu matematika, ada tiga metode yang bisa diterapkan untuk mencari akar PK ax2 + bx + c = 0, yakni metode pemfaktoran, kuadrat sempurna, dan rumus abc. Oke langsung saja simak pembahasan dari 3 metode ini, untuk mencari akar persamaan kuadrat dibawah ini.

1. Pemfaktoran

Dibanding dua faktor lain, pemfaktoran adalah metode yang paling mudah digunakan jika bilangannya rasional. Di bawah ini adalah tabel model persamaan kuadrat dan penerapan metode pemfaktoran.

NoPersamaan KuadratFaktorisasi Akar-akar
1x2 + 2xy + y2 = 0(x + y)2 = 0
2x2 – 2xy + y2 = 0(x – y)2 = 0
3x2 – y2 = 0(x + y)(x – y) = 0

Jika Anda ingin menggunakan metode ini, pertama-tama Anda harus mengetahui model PK yang hendak diselesaikan. Setelah model persamaan kuadratnya diketahui, selanjutnya pemfaktoran bisa diaplikasikan sesuai dengan bentuk yang tertera pada tabel di atas.

Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh penyelesaian PK 5x2+13x+6=0 dengan metode pemfaktoran.

Jawab:

5x2 + 13x = 6 = 0

5x2 + 10x + 3x + 6 = 0

5x(x + 2) + 3(x + 2) = 0

(5x + 3)(x + 2) = 0

5x = -3

x = -3/5, atau x = -2

Sehingga, himpunan penyelesaian HP = (-3/5, -2)

2. Kuadrat Sempurna

Meski mudah, sayangnya tidak semua PK bisa dicari dengan metode pemfaktoran atau faktorisasi. Jika demikian, Anda bisa menggantinya dengan metode kuadrat sempurna. Caranya yakni dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Bentuk PK sempurna ialah bentuk persamaan yang mana hasilnya adalah bilangan rasional.

Penyelesaikan PK dengan metode kuadrat sempurna bisa Anda lakukan dengan menerapkan rumus:

(x+p)2 = x2 + 2px + p2

Selanjutnya, ubah dalam bentuk persamaan (x+p)2 = q

Agar lebih jelas, silahkan simak contoh penyelesaian PK dengan metode kuadrat sempurna dari persamaan x+ 6x + 5 = 0 berikut ini.

Jawab:

x+ 6x +5 = 0

Ubah dalam bentuk x+ 6x = -5

Kemudian tambahkan satu angka pada ruas kiri dan kanan sehingga berubah jadi kuadrat sempurna. Angka yang ditambahkan diambil dari separuh angka koefisien yang asalnya dari nilai x atau separuh 6, kemudian dikuadratkan jadi 32 = 9.

Kemudian tambahkan angka 9 pada ruas kiri dan kanan sehingga persamaannya menjadi:

x+ 6x + 9 = -5 + 9

x+ 6x + 9 = 4

(x+3)= 4

(x+3) = √4

x = 3 ± 2

  • Untuk x+3 = 2

x = 2-3

x = -1

  • Untuk x+3 = -2

x = -2-3

x = -5

Jadi, nilai akhirnya adalah, x= -1 atau x = -5

3. Rumus Kuadrat atau Rumus ABC

Metode lain yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan kuadrat adalah rumus abc. Rumus yang digunakan untuk metode ini adalah

rumus abc

Berikut ini contoh penyelesaian persamaan kuadrat x+ 4x – 12 = 0 dengan rumus abc.

Jawab:

x+ 4x – 12 = 0

a=1, b=4, c=-12

Jenis Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Untuk mengetahui jenis akar-akar PR ax2 + bx + c = 0, Anda bisa mencari tahu nilai “Diskriminan” (D) yang terdapat pada rumus abc, yakni:

D = b2 – 4ac

Jadi rumus yang didapatkan adalah: x1,2 = -b + sqrtD/2a

Tanda akar D ini menentukan jenis akar-akar PD, apakah termasuk bilangan real atau bukan. Jadi akar-akar PK dari ax2 + bx + c = 0 ialah:

  • Jika D > 0, berarti akar-akarnya real.
  • Jika D < 0, berarti akar-akarnya tidak real.
  • Jika D = 0, berarti akar-akarnya real dan kembar atau sama.

Penyusunan Persamaan Kuadrat Baru

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, Anda perlu mengetahui nilai akarnya terlebih dahulu. Hal ini bisa diketahui dengan mensubstitusikan nilai dari akar-akar yang sudah di ketahui pada persamaan:

(x – x1)(x – x2)

Meski begitu, PK baru juga bisa dibentuk meski nilai akar-akarnya tidak diketahui. Namun dengan syarat, jika akar-akarnya mempunyai relasi dengan akar-akar dari persamaan kuadrat lain.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat dan Penyelesaiannya

Adapun beberapa contoh soal persamaan kuadrat dan penyelesaiannya dapat kamu pelajari seperti yang ada dibawah ini.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat #1

Diketahui bentuk persamaan  x2 – 4 = 3(x – 2) adalah ax2 + bx + c = 0. Tentukan nilai a, b, dan c secara berurutan.

A. 1, -2, 3

B. 1, -3, 2

C. 1, -3, -10

D. 1, 3, -2

Jawab:

Pertama, ubah persamaan di atas dalam bentuk umum terlebih dahulu:

⇒ x2 – 4 = 3(x – 2)
⇒ x2 – 4 = 3x – 6
⇒ x2 – 4 – 3x + 6 = 0
⇒ x2 – 3x + 2 = 0
⇒ a = 1, b = -3, dan c = 2

Maka jawaban yang benar adalah B.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat #2

Diketahui salah satu akar pada persamaan kuadrat  x2 + 2x + c = 0 adalah 3. Tentukan akar lainnya.

A. X = 3

B. X = 5

C. X = -5

D. X = -15

Jawab:

Pertama, substitusikan terlebih dahulu nilai x = 3 untuk mencari tahu nilai c.

⇒ x2 + 2x + c = 0
⇒ 32 + 2(3) + c = 0
⇒ 9 + 6 + c = 0
⇒ 15 + c = 0
⇒ c = -15

Selanjutnya substitusikan nilai c pada persamaan.

⇒ x2 + 2x + c = 0
⇒ x2 + 2x – 15 = 0

Berikutnya tentukan nilai akar dengan metode faktorisasi atau pemfaktoran:

⇒ (x + 5)(x – 3) = 0
⇒ x = -5 atau x = 3

Jadi jawaban yang benar adalah C.

Contoh Soal Persamaan Kuadrat #3

Jika akar-akar persamaan x2 – 3x – 10 = 0 adalah x1 dan x2, tentukan hasil x1 + x2.

A. x1+ x2 = 4

B. x1+ x2 = 3

C. x1+ x2 = 7

D. x1+ x2 = 5

Jawab:

Gunakan metode faktorisasi:

⇒ x2 – 3x – 10 = 0
⇒ (x + 2)(x – 5) = 0
⇒ x1 = -2 atau  x2 = 5

Maka jumlah akar-akarnya adalah:

⇒ x1 + x2 = -2 + 5
⇒ x1 + x2 = 3

Selanjutnya gunakan metode cepat:

Dari: x2 – 3x – 10 = 0
Dik: a = 1, b = -3, c = -10

Ditemukan jumlah akarnya:

⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -(-3)/1
⇒ x1 + x2 = 3

Jadi jawaban yang benar adalah B.

Bentuk soal yang sering keluar untuk materi persamaan kuadrat sendiri sangat beragam. Namun untuk ujian nasional, umumnya dalam bentuk soal cerita singkat.