Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan 3 Metode

sistem persamaan linear
sistem persamaan linear

Dalam ilmu matematika, Anda akan mengenal dua kalimat matematika dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan linear. Sistem persamaan linear sendiri terbagi menjadi sistem persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear tiga variabel.

Persamaan linear dua variabel atau yang biasa disingkat SPLDV adalah persamaan yang di dalamnya membuat dua variabel pangkat satu. Sistem persamaan ini memiliki hubungan yang dapat diselesaikan.

Bentuk umum persamaan linear dua variabel sendiri cukup sederhana, seperti:

ax + by = c

px + qy = d

Keterangan:

  • x dan y adalah variabel
  • a, b, p adalah koefisien
  • c dan r adalah konstanta.

Sistem persamaan dua variabel sangat berguna untuk menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang membutuhkan penerapan marematika. Contohnya, untuk menentukan harga jual produk, mencari profit, bahkan untuk menentukan ukuran benda.

Lalu bagaimana langkah untuk melakukan penyelesaian masalah menggunakan sistem persamaan linear dua variabel? Berikut langkah-langkahnya:

  1. Mengganti setiap besaran pada permasalahan terkait dengan variabel (bisa menggunakan huruf atau simbol).
  2. Membuat model matematika dari kasus tersebut. Selanjutnya rumuskan sesuai dengan bentuk umum SPLDV.
  3. Mencari solusi atas model matematika yang sudah dibuat dengan metode SPLDV.

Mengenal Suku, Koefisien, Konstanta dan Variabel

Sebelum melangkah lebih jauh, sebelumnya Anda harus tahu apa itu suku, koefisien, konstanta dan variabel.

  • Suku adalah suatu bagian dalam dari bentuk aljabar, bisa terdiri dari variabel serta konstanta. Juga bisa berbentuk konstanta yang mana setiap suku dipisahkan tanda operasi penjumlahan.

Contohnya: 6x – y = 9, maka sukunya adalah 6x, y dan juga 9.

  • Variabel, yakni pengganti suatu nilai/angka yang biasanya ditunjukkan dalam bentuk huruf atau simbol.

Contohnya: Ani memiliki 5 ekor ayam dan 3 ekor kambing. Maka bisa dituliskan dalam bentuk 5a + 3b, yang mana a  adalah ayam dan b adalah kambing.

  • Koefisien, yakni angka yang memperlihatkan jumlah variabel serupa.

Dari contoh kalimat di atas, maka 5 dan 3 adalah koefisien.

Cara Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Untuk menyelesaikan persoalan SPLDV, Anda bisa menggunakan beberapa metode, seperti:

Metode Eliminasi

Metode Eliminasi
Metode Eliminasi

Metode ini bisa diaplikasikan dengan mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel dari bentuk persamaan tersebut.

Contoh soal

4x + 6y = 12 dan x – y = 3

Penyelesaian:

Pertama eliminasi variabel y dengan menggunakan koefisien y yang sama, jadi: 4x + 6y = 12 dikalikan 1 dan persamaan.

X – y = 3 kalikan dengan angka 3

4x + 6y = 12 x 1 | 4x + 6y = 12

X – y = 3 x 3 | 3x – 3y = 9

7x = 21

X = 21/7

X = 3

Selanjutnya, Anda bisa melakukan estimasi variabel x. Caranya sama seperti langkah di atas, namun dengan menerapkan koefisien x.

4x + 6y dikalikan 1 dan x – y = 3 dikalikan 4 (angka dipilih agar hasil pengalian y antara kalimat pertama dan kedua sama)

4x + 6y = 12 x 1 | 4x + 6y = 12

X – y = 3 x 4 | 4x – 4y = 12

10y = 0

Y = 10/0

Y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}

Metode Substitusi

Metode Substitusi
Metode Substitusi

Metode substitusi bisa diterapkan dengan menyebutkan terlebih variabel terlebih dahulu pada variabel yang sama dalam suatu persamaan. Selanjutnya subsitusikan (gantikan) variabel tersebut pada persamaan yang lain.

Contoh soal

Selesaikan persamaan dari kalimat berikut 4x + 6y = 12 dan x – y = 3

Penyelesaian:

X – y = 3 adalah ekuivalen dengan x = y + 3

Selanjutnya substitusikan persamaan x = y + 3 ke dalam persamaan 4x + 6y = 12

4x + 6y = 12

4 (y + 3) + 6y = 12

4y + 12 + 6y = 12

10y  + 12 = 12

10y = 12 -12

10y = 0

Y = 0

Setelah mendapatkan nilai x, lalu substitusikan nilai y pada persamaan x = y + 3.

X = y + 3

X = 0 + 3

X = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}

Metode Gabungan

Metode ketiga ini merupakan cara penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.

Contoh soal

Temukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x = 5y = 6

Penyelesaian:

Langkah pertama terapan metode eliminasi.

2x – 5y = 2 ×1 | 2x – 5y = 2
x + 5y = 6 ×2 | 2x +10y = 12
-15y = -10
y = (-10)/(-15)
y = 2/3

Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga akan kita peroleh:
x + 5y = 6
x + 5 (2/3) = 6
x + 10/15 = 6
x = 6 – 10/15
x = 22/3

Jadi titik himpun dari persamaan ini adalah {(22/3, 2/3)}

Contoh Soal SPLDV Dalam Bentuk Cerita

Arif akan melakukan lompat tali dengan menggunakan tali yang panjangnya 70 cm lebih pendek dari tinggi Arif. Agar tali tersebut tidak menyangkut di tubuh Arif, setidaknya panjangnya harus dua kali lipat dari panjang sebelumnya. Setelah diukur kembali, ternyata panjang tali menjadi 30 cm lebih panjang dibanding tinggi Arif.

Tentukan berapa panjang tali dan tinggi badan Arif.

Jawab:

  • Pertama, ganti seluruh besaran pada soal cerita di atas dengan variable.x untuk Panjang tali dan y untuk tinggi badan.
  • Selanjutnya buat model matematikanya:

Persamaan I: x = 7 – 70 atau -x + y = 70

Persamaan II: 2x = 30 + y atau 2x – y = 30

Setelah itu, langsung masuk pada penyelesaiannya. Anda bisa memilih metode yang paling mudah menurut Anda. Kita ambil contoh menggunakan metode substitusi.

Diketahui:

  1. Persamaan I : -x + y = 70
  2. Persamaan II : 2x – y = 30

Untuk mencari nilai x, temukan nilai y terlebih dahulu.

Dari persamaan I: -x + y = 70 → y = 70 + x

Selanjutnya, subsitusi nilai y ke dalam persamaan II:

2x – y = 30

→ 2x-(70+x) = 30

→ 2x-70-x = 30

→ x-70 = 30

→ x= 100

Setelah itu, subsitusikan nilai x ke persamaan y = 70 + x

y = 70 + x

→ y = 70 + 100

→ y= 170

Dari penyelesaian di atas, diketahui jika nilai x = 100 dan y = 170.

Jadi, tinggi putra adalah 170 cm, dan Panjang tali yang digunakan untuk lompat tali adalah 100 cm.

Untuk menyelesaikan soal ujian, Anda bisa memilih salah satu metode yang dirasa paling mudah dan praktis.