Induksi Matematika

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya

by

Contoh Soal Induksi Matematika - Setelah mempelajari tentang logika matematika, maka kamu harus menguasai juga tentang materi induksi matematika. Coba ingat lagi apa saja materi tentang logika matematika! Ya, betul, mulai dari pernyataan benar atau salah, penarikan kesimpulan, hingga ekuivalen maupun ingkaran dari suatu pernyataan.

Apa itu Induksi Matematika?

Pengertian induksi matematika adalah metode untuk membuktikan pernyataan apakah bernilai benar atau salah menggunakan cara deduktif. Kamu akan diajarkan proses menarik kesimpulan dari kebenaran pernyataan secara umum. Sehingga, pernyataan tertentu atau khusus pun akan berlaku benar juga. Pada materi induksi matematika, variabel perumusan dibuktikan sebagai anggota himpunan bilangan asli.

Induksi matematika juga bisa didefinisikan sebagai salah satu cara membuktikan rumus maupun pernyataan matematika. Singkatnya, induksi matematika adalah metode pembuktian pada suatu pernyataan apakah bisa berlaku pada semua kasus.

Lebih mudah lagi kalau kamu langsung cek saja contoh sederhana berikut. Semisal ada deret bilangan seperti ini :

1 + 2 + 3 + … + n

Bagi nilai n tertentu, kamu dapat mencari jumlah berdasar deret bilangan tersebut. Contohnya, jika n = 2, hasilnya menjadi :

1 + 2 = 3

Hasilnya adalah 3, untuk n = 5, maka, perhitungannya menjadi:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Begitu seterusnya, sehingga, untuk menghitung jumlah deret bagi n bilangan asli berapa pun, maka, ada rumusnya. Kamu pun tidak perlu menjumlahkannya satu per satu lagi. Tinggal masukkan nilai n pada rumus.

Untuk menguji nilai n, kamu sebetulnya tidak dapat melakukan generalisasi. Rumus yang didapatkan harus diuji terlebih dahulu. Cara mengujinya, tentu tidak bisa menggunakan angka yang jumlahnya tidak terhingga. Inilah peran dari induksi matematika.

Prinsip Induksi Matematika

Seperti contoh di atas, kamu bisa mengujinya atau pada kasus lain dengan melakukan dua langkah. Gampang banget, ini dia langkahnya :

[su_box title=”Adapun prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut” box_color=”#020202″]

  1. Membuktikan rumus ini benar dengan mengaplikasikan n = 1.
  2. Lalu, kamu juga bisa mengasumsikan pernyataan maupun rumus benar dengan menggunakan n = k.
  3. Selanjutnya, bisa juga membuktikannya dengan n = k + 1.[/su_box]

Jenis Induksi Matematika

Nah, apakah kamu sudah mencoba konsep dasar tersebut pada rumus induksi matematika? Kalau sudah, pastikan kamu juga memahami hal ini! Ya, dalam materi induksi matematika, ada beberapa permasalahan matematis yang bisa diselesaikan. Sehingga, dibagi lah menjadi tiga jenis induksi matematika, yakni.

[su_box title=”Adapun jenis-jenis induksi matematika adalah sebagai berikut:” box_color=”#020202″]

  1. Deret,
  2. Pembagian,
  3. Pertidaksamaan.[/su_box]

Contoh Soal Induksi Matematika Sederhana

Adapun penjelasan dari setiap jenis induksi matematika, akan kita bahas bersama dengan menghadirkan contoh soal induksi matematika beserta jawabannya. Hal ini, sekaligus untuk membuktikan kebenaran rumus induksi matematika yang sudah dijelaskan dari prinsip induksi matematika di atas. Oke, langsung saja kita cek dibawah ini.

1. Deret

Seperti pada contoh sebelumnya, deret merupakan bentuk penjumlahan beruntun. Maka, pada permasalahan deret harus dibuktikan kebenarannya di suku pertama, suku ke-k, serta suku ke- (k + 1).

Biar kamu lebih paham, coba simak contoh soal induksi matematika deret berikut ini!

Buktikan dengan induksi matematika jika 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n (n + 1)

Langkah yang pertama :

n = 1, hasilnya :

1 = ½ n (n + 1)

1 = ½ (1) (1 + 1)

1 = 1

Hasilnya, betul, ya!

Langkah kedua :

n = k, jadinya :

1 + 2 + 3 + … + k = ½ k ( k + 1)

Langkah ketiga :

n = k + 1, jadinya

1 + 2 + 3 + … + k + ( k + 1) = ½ (k + 1) = ½ (k + 1) ((k + 1) + 1)

Pembuktian :

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ½k (k + 1) = 1/2k (k + 1) + (k+1)

dua ruas ditambahkan k + 1 menjadi :

½ k (k+1) + ½ (2 (k + 1)) (k + 1) dimodifikasikan serupa dengan ½ k (k + 1)

½ (k(k + 1) + 2(k + 1)) disederhanakan menjadi

½ (k2 + k + 2k + 2)

½ (k2 + k + 2k + 2)

½ (k2 + k + 2k + 2)

Sehingga, 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ½ (k + 1) (k + 2)

Jadi, rumus tersebut terbukti!

2. Pembagian

Selanjutnya, ada materi induksi matematika pembagian. Jenis yang satu ini bisa kamu temukan pada model soal seperti a habis dibagi b, b membagi a, b faktor a, serta a kelipatan dari b. Ciri ini menunjukkan jika pernyataan bisa diselesaikan memakai induksi matematika.

Nah, untuk membuktikan bilangan a habis dibagi b, maka, a = b x m. Dimana m merupakan bilangan bulat.

Agar kamu lebih paham, coba simak contoh soal induksi matematika pembagian di bawah ini!

Buktikan dengan induksi matematika 52n + 3n – 1 akan habis dibagi dengan angka 9.

Caranya, seperti ini :

Langkah pertama :

n = 1, sehingga menjadi,

52n + 3n – 1 = 52(1) + 3 (1) – 1

= 52 + 3 – 1 = 27

Kemudian, langkah kedua, membuktikan dengan n = k, sehingga :

52n + 3n – 1 sehingga 52k + 3k – 1

52k + 3k – 1 = 9b (dimana b adalah hasil bagi 52k + 3k – 1)

Langkah ketiga, kamu buktikan dengan n = k + 1 menjadi,

52(k+1) + 3 (k+1) – 1 = 52k+2 + 3k + 3 – 1 = 52(52k) + 3k + 3 – 1

Setelah itu, (52k) dimodifikasi caranya memasukkan 52k + 3k – 1, sehingga menjadi

25 (52k + 3k – 1) – 75k + 25 + 3k + 3 – 1 = 25 (52k + 3k – 1) – 72k + 27 = 25 (9b) – 72k + 27 = 9 (25b – 8k +3) rumus tersebut benar!

3. Pertidaksamaan

Jenis ini ditandai menggunakan lebih dari serta kurang dari. Ada beberapa sifat yang kerap dipakai pada penyelesaian induksi matematika yang satu ini. Kamu bisa melihat daftarnya di bawah ini!

a > b > c => a > c ataupun a < b < c => a < c

a < b dan c > 0 => ac < bc bisa juga a > b dan c> 0 => ac > bc

a < b => a + c < b + c ataupun a > b => a + c > b + c

Biar kamu lebih paham lagi, yuk, simak contoh soal induksi matematika pertidaksamaan di bawah ini!

Buktikan setiap bilangan asli n > 2 berlaku 3n > 1 + 2n

Langkah yang pertama :

n = (2), benarkah?

Mari, kita masukkan angkanya.

32 > 1 + 2 x 2

9 > 1 + 4

9 > 5

Hasilnya, benar.

Langkah kedua

Asumsikan n = k benar, maka, menjadi,

3k > 1 + 2k dengan k > 2

Lanjut ke langkah ketiga

Akan dibuktikan n = (k + 1) benar, menjadi

3k+1 > 1 + 2 (k + 1)

3k+1 = 3 (3K)

3k+1 > 3 + 6k

3k+1 > 3 + 2k

3k+1 > 1 + 2k + 2

3k+1 = 1 + 2 (k + 1)

Hasilnya, benar

Ada yang masih dibingungkan tentang materi induksi matematika? Tentunya tidak, kan? Karena kita sudah bahas bersama lengkap dengan contoh soal induksi matematika dan jawabannya sekaligus. Dan hasilnya terbukti bahwa rumus induksi matematika memang benar sesuai dengan prinsip induksi matematika seperti yang kita bahas di atas tadi. Demikian, semoga bermanfaat, ya!

REKOMENDASI

  • Contoh Daftar Isi Makalah, Proposal, Skripsi, Laporan Yang… Contoh Daftar Isi ini sangat diperlukan dalam membuat makalah, skripsi, laporan pkl magang, proposal dan karya tulis ilmiah untuk memperoleh hasil yang baik dan benar. Sebagai persembahan nantinya, buat pembaca…
  • Geometri Bidang Datar Geometri Bidang Datar - Dari sekian banyak ilmu dasar pada matematika, ada satu lagi yang mesti kamu kuasai, yakni transformasi geometri dan geometri bidang datar. Pasalnya, ilmu ini akan berguna…
  • Memahami Konsep Suku Banyak dan Nilainya dengan Substitusi… Suku Banyak - Tentunya, kamu sudah paham dengan istilah persamaan kuadrat, kan? Untuk menentukan unsur persamaan kuadrat tersebut, kamu bisa melakukan kuadrat sempurna, pemfaktoran, dan sebagainya. Namun, bagaimana caranya kamu…
  • √ Teks Tanggapan Kritis : Pengertian, Ciri, Fungsi, Tujuan,… Apa saja yang kamu ketahui mengenai teks tanggapan kritis? Teks ini merupakan sebuah teks yang isinya adalah pendapat dan juga gagasan, yang disampaikan oleh seseorang pada setiap persoalan atau kejadian…
  • Persamaan Lingkaran : Rumus, Contoh Soal & Garis Singgung Persamaan Lingkaran - Jika kamu memerhatikan roda mobil, tentu dari titik tengah ke sisi-sisi lingkarannya akan mempunyai jarak yang sama. Sebab, lingkaran bisa diartikan sebagai tempat kedudukan titik-titik mempunyai jarak…
  • Past Future Perfect Tense Past future perfect tense adalah bentuk sebuah tense yang menjelaskan tentang aktivitas yang tidak terjadi di masa lampau. Penjelasan pada tense yang digunakan di setiap kalimatnya harus dibentuk menggunakan rumus…
  • Contoh Penulisan Daftar Pustaka Beserta Tata Caranya Contoh penulisan daftar pustaka - Buat kamu yang pernah membuat karya ilmiah, skripsi, atau tulisan lainnya pastinya akrab dengan daftar pustaka. Apalagi kalau dalam tulisan tersebut kamu banyak mengutip pernyataan…
  • Rumus Empiris dan Rumus Molekul Rumus Empiris dan Rumus Molekul - Setiap senyawa kimia bisa dinyatakan menggunakan rumus kima yang akan menunjukkan jumlah relatif dari atom-atom unsur yang ada pada senyawa tersebut. Rumus kimia yang…
  • Bilangan Kuantum: Pengertian, Bentuk dan Orbital Atom Bilangan Kuantum - Ketika bersinggungan dan membahas kimia pertama kali, mungkin kamu telah mempelajari beberapa teori tentang atom yang cukup sederhana, misalnya teori John Dalton. Namun, perlu diketahui, teori atom…
  • Materi Irisan Dua Lingkaran Irisan Dua lingkaran - Materi lingkaran dalam pelajaran matematika bisa dikatakan sebagai salah satu materi paling rumit. Di samping banyaknya rumus yang harus kamu hafalkan, banyak teori perhitungan yang harus…
  • Materi Teks Laporan Hasil Observasi: Pengertian, Tujuan,… Materi teks laporan hasil observasi - Berikut adalah pengertian, tujuan, fungsi, ciri-ciri, sifat, struktur kaidah kebahasaan dan bagaimana cara menyusun teks laporan hasil observasi? Tenang saja kawan, semuanya akan kami…
  • Past Future Continuous Tense Past future continuous tense merupakan satu dari bentuk past tenses yang harus dipelajari. Kondisi yang digambarkan pada penjelasan aksi atau kejadiannya dalam bentuk yang tidak nyata atau berandai-andai. Pengolahan kalimat…
  • Simple Future Tense Simple future tense yang sifatnya menjelaskan kejadian di masa depan maka penting untuk digunakan pada setiap kalimat. Ada hal-hal yang membangun bagi tense ini dengan memerhatikan setiap bagiannya. Termasuk untuk…
  • Auxiliary Verb Apakah kamu pernah mendengar istilah auxiliary verb? Pada dasarnya ini bukanlah hal yang asing saat kamu mempelajari materi bahasa Inggris. Sayangnya, tidak banyak yang benar-benar paham dengan kata kerja yang…
  • Rumus Mean, Median, Modus serta Contoh Soal dan… Mean, Median, Modus - Beberapa diantara kalian mungkin sudah cukup familiar dengan istilah ukuran pemusatan data. Tapi sudahkan kamu tahu apa definisi dari istilah tersebut? Ukuran pemusatan data ialah sembarang…
  • Report Text Report text memiliki fungsi yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai teks yang berisikan tentang laporan suatu kegiatan, suatu hal, atau suatu kejadian. Dalam Bahasa Inggris ada beberapa hal yang…
  • Integral Substitusi dan Parsial Intergral substitusi dan parsial merupakan metode yang bisa kamu gunakan dalam menyelesaikan permasalahan integral itu sendiri. Integral substitusi yaitu metode yang digunakan pada persoalan integral dimana pada bagian fungsi adalah…
  • Memahami Logaritma Itu Mudah! Bonus 5 Contoh Soal dan… Materi logaritma kelas 10, kamu sudah mempelajari mengenai bilangan eksponen atau bilangan berpangkat. Kali ini, kamu juga akan tau mengenai kebalikan dari eksponen, yakni logaritma. Jadi, kalau pada eksponen, yang…
  • Materi Teks Eksplanasi Lengkap Materi teks eksplanasi - Berikut adalah pengertian, fungsi, ciri-ciri, struktur, kaidah kebahasaan teks eksplanasi dan cara membuatnya. Yuk simak pembahasantentang materi teks eksplanasi yang sudah pastiguna.com kemas dengan bahasa yang…
  • Kaidah Pencacahan, Peluang, Permutasi, dan Kombinasi Salah satu materi matematika yang sering kali dianggap sulit oleh para siswa, padahal metode pemahamannya cukup mudah adalah kaidah pencacahan, peluang, permutasian, dan kombinasi. Asalkan kamu paham rumus dan penerapan…
  • Kalimat Retoris : Pengertian, Fungsi, Ciri-ciri, dan Contoh… Kalimat retoris - Berikut adalah pengertian kalimat retoris, fungsi kalimat retoris, ciri-ciri kalimat retoris, dan contoh kalimat retoris, yang mana artikel kali ini akan membuat anda jadi lebih paham mengenai…
  • Contoh Rumusan Masalah Makalah, Penelitian, Skripsi,… Contoh Rumusan Masalah – Memang sangat penting dalam mengerjakan sebuah penelitian, makalah, skripsi, proposal, studi kasus. Kenapa sangat penting?? Karena kalian pasti akan menjumpai dengan apa yang namanya rumusan masalah,…
  • Materi Limit Fungsi Aljabar & Trigonometri Jadi Lebih… Materi limit fungsi - Pasti kamu pernah mendengar kata limit, limited bukan? kata limit yang biasa kita dengar berarti sedikit atau mendekati, misalnya limited edition ini berarti persediaan yang sedikit…
  • Teknik Analisis Data Kualitatif, Kuantitatif, Menurut Para… Teknik Analisis Data adalah suatu metode atau cara untuk mengolah sebuah data menjadi informasi sehingga karakteristik data tersebut menjadi mudah untuk dipahami dan juga bermanfaat untuk menemukan solusi permasalahan, yang…
  • Integral Idenfinite Integral/Antiderivatif atau yang lebih akrab disebut integral tak tentu adalah sebuah bentuk operasi integral dalam suatu fungsi, dan bisa menghasilkan fungsi baru. Dalam konsep ini, fungsi utama belum memiliki…
  • Irisan Kerucut : Lingkaran, Elips, Parabola, Hiperbola Irisan Kerucut - Kalau kamu sudah pernah mendapatkan materi tentang bangun ruang, pastinya sudah mengenal apa itu kerucut. Ya, betul sekali, kerucut adalah bangun ruang yang memiliki alas berbentuk lingkaran.…
  • Kritik Seni: Pengertian, Fungsi, Jenis, Bentuk, Contoh Kritik seni - Seni adalah ekspresi atau penerapan keterampilan dan imajinasi kreatif manusia, biasanya dalam bentuk visual seperti lukisan atau patung, menghasilkan karya yang dihargai terutama karena keindahan atau kekuatan…
  • Sosialisasi : Pengertian, Proses, Tujuan, Fungsi, Jenis,… Sosialisasi - Proses penanaman atau transfer kebiasaan menurut aturan yang ada biasanya disebut dengan sosialisasi. Proses ini dilakukan dari satu generasi ke generasi yang lainnya di dalam sebuah kelompok atau…
  • Macam-macam Teknik Menggambar, Contoh dan Langkah-langkah… Macam-macam Teknik Menggambar – Perlu kita ketahui terdapat banyak macam cara untuk menggambar seperti teknik menggambar bentuk, model, wajah, ilustrasi, sketsa, dengan pensil, ragam hias, 3d, prespektif, anime, flora, pemandangan,…
  • Arus Bolak-balik Dalam dunia kelistrikan, terdapat salah satu arus yang banyak digunakan untuk berbagai kebutuhan. Arus listrik tersebut dikenal dengan arus bolak-balik atau arus AC. Arus AC merupakan pergerakan muatan listrik yang…

Leave a Comment