Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya

Contoh Soal Induksi Matematika – Setelah mempelajari tentang logika matematika, maka kamu harus menguasai juga tentang materi induksi matematika. Coba ingat lagi apa saja materi tentang logika matematika! Ya, betul, mulai dari pernyataan benar atau salah, penarikan kesimpulan, hingga ekuivalen maupun ingkaran dari suatu pernyataan.

Apa itu Induksi Matematika?

Pengertian induksi matematika adalah metode untuk membuktikan pernyataan apakah bernilai benar atau salah menggunakan cara deduktif. Kamu akan diajarkan proses menarik kesimpulan dari kebenaran pernyataan secara umum. Sehingga, pernyataan tertentu atau khusus pun akan berlaku benar juga. Pada materi induksi matematika, variabel perumusan dibuktikan sebagai anggota himpunan bilangan asli.

Induksi matematika juga bisa didefinisikan sebagai salah satu cara membuktikan rumus maupun pernyataan matematika. Singkatnya, induksi matematika adalah metode pembuktian pada suatu pernyataan apakah bisa berlaku pada semua kasus.

Lebih mudah lagi kalau kamu langsung cek saja contoh sederhana berikut. Semisal ada deret bilangan seperti ini :

1 + 2 + 3 + … + n

Bagi nilai n tertentu, kamu dapat mencari jumlah berdasar deret bilangan tersebut. Contohnya, jika n = 2, hasilnya menjadi :

1 + 2 = 3

Hasilnya adalah 3, untuk n = 5, maka, perhitungannya menjadi:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Begitu seterusnya, sehingga, untuk menghitung jumlah deret bagi n bilangan asli berapa pun, maka, ada rumusnya. Kamu pun tidak perlu menjumlahkannya satu per satu lagi. Tinggal masukkan nilai n pada rumus.

Untuk menguji nilai n, kamu sebetulnya tidak dapat melakukan generalisasi. Rumus yang didapatkan harus diuji terlebih dahulu. Cara mengujinya, tentu tidak bisa menggunakan angka yang jumlahnya tidak terhingga. Inilah peran dari induksi matematika.

Prinsip Induksi Matematika

Seperti contoh di atas, kamu bisa mengujinya atau pada kasus lain dengan melakukan dua langkah. Gampang banget, ini dia langkahnya :

[su_box title=”Adapun prinsip induksi matematika adalah sebagai berikut” box_color=”#020202″]

1. Membuktikan rumus ini benar dengan mengaplikasikan n = 1.
2. Lalu, kamu juga bisa mengasumsikan pernyataan maupun rumus benar dengan menggunakan n = k.
3. Selanjutnya, bisa juga membuktikannya dengan n = k + 1.[/su_box]

Jenis Induksi Matematika

Nah, apakah kamu sudah mencoba konsep dasar tersebut pada rumus induksi matematika? Kalau sudah, pastikan kamu juga memahami hal ini! Ya, dalam materi induksi matematika, ada beberapa permasalahan matematis yang bisa diselesaikan. Sehingga, dibagi lah menjadi tiga jenis induksi matematika, yakni.

[su_box title=”Adapun jenis-jenis induksi matematika adalah sebagai berikut:” box_color=”#020202″]

1. Deret,
2. Pembagian,
3. Pertidaksamaan.[/su_box]

Contoh Soal Induksi Matematika Sederhana

Adapun penjelasan dari setiap jenis induksi matematika, akan kita bahas bersama dengan menghadirkan contoh soal induksi matematika beserta jawabannya. Hal ini, sekaligus untuk membuktikan kebenaran rumus induksi matematika yang sudah dijelaskan dari prinsip induksi matematika di atas. Oke, langsung saja kita cek dibawah ini.

1. Deret

Seperti pada contoh sebelumnya, deret merupakan bentuk penjumlahan beruntun. Maka, pada permasalahan deret harus dibuktikan kebenarannya di suku pertama, suku ke-k, serta suku ke- (k + 1).

Biar kamu lebih paham, coba simak contoh soal induksi matematika deret berikut ini!

Buktikan dengan induksi matematika jika 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n (n + 1)

Langkah yang pertama :

n = 1, hasilnya :

1 = ½ n (n + 1)

1 = ½ (1) (1 + 1)

1 = 1

Hasilnya, betul, ya!

Langkah kedua :

n = k, jadinya :

1 + 2 + 3 + … + k = ½ k ( k + 1)

Langkah ketiga :

n = k + 1, jadinya

1 + 2 + 3 + … + k + ( k + 1) = ½ (k + 1) = ½ (k + 1) ((k + 1) + 1)

Pembuktian :

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ½k (k + 1) = 1/2k (k + 1) + (k+1)

dua ruas ditambahkan k + 1 menjadi :

½ k (k+1) + ½ (2 (k + 1)) (k + 1) dimodifikasikan serupa dengan ½ k (k + 1)

½ (k(k + 1) + 2(k + 1)) disederhanakan menjadi

½ (k² + k + 2k + 2)

½ (k² + k + 2k + 2)

½ (k² + k + 2k + 2)

Sehingga, 1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) = ½ (k + 1) (k + 2)

Jadi, rumus tersebut terbukti!

2. Pembagian

Selanjutnya, ada materi induksi matematika pembagian. Jenis yang satu ini bisa kamu temukan pada model soal seperti a habis dibagi b, b membagi a, b faktor a, serta a kelipatan dari b. Ciri ini menunjukkan jika pernyataan bisa diselesaikan memakai induksi matematika.

Nah, untuk membuktikan bilangan a habis dibagi b, maka, a = b x m. Dimana m merupakan bilangan bulat.

Agar kamu lebih paham, coba simak contoh soal induksi matematika pembagian di bawah ini!

Buktikan dengan induksi matematika 5²ⁿ + 3n – 1 akan habis dibagi dengan angka 9.

Caranya, seperti ini :

Langkah pertama :

n = 1, sehingga menjadi,

5²ⁿ + 3n – 1 = 5²⁽¹⁾ + 3 (1) – 1

= 5² + 3 – 1 = 27

Kemudian, langkah kedua, membuktikan dengan n = k, sehingga :

5²ⁿ + 3n – 1 sehingga 5^2k + 3k – 1

5^2k + 3k – 1 = 9b (dimana b adalah hasil bagi 5^2k + 3k – 1)

Langkah ketiga, kamu buktikan dengan n = k + 1 menjadi,

5^2(k+1) + 3 (k+1) – 1 = 5^2k+2 + 3k + 3 – 1 = 5²(5²k) + 3k + 3 – 1

Setelah itu, (5^2k) dimodifikasi caranya memasukkan 5^2k + 3k – 1, sehingga menjadi

25 (5^2k + 3k – 1) – 75k + 25 + 3k + 3 – 1 = 25 (5^2k + 3k – 1) – 72k + 27 = 25 (9b) – 72k + 27 = 9 (25b – 8k +3) rumus tersebut benar!

3. Pertidaksamaan

Jenis ini ditandai menggunakan lebih dari serta kurang dari. Ada beberapa sifat yang kerap dipakai pada penyelesaian induksi matematika yang satu ini. Kamu bisa melihat daftarnya di bawah ini!

a > b > c => a > c ataupun a < b < c => a < c

a < b dan c > 0 => ac < bc bisa juga a > b dan c> 0 => ac > bc

a < b => a + c < b + c ataupun a > b => a + c > b + c

Biar kamu lebih paham lagi, yuk, simak contoh soal induksi matematika pertidaksamaan di bawah ini!

Buktikan setiap bilangan asli n > 2 berlaku 3ⁿ > 1 + 2n

Langkah yang pertama :

n = (2), benarkah?

Mari, kita masukkan angkanya.

3²  > 1 + 2 x 2

9 > 1 + 4

9 > 5

Hasilnya, benar.

Langkah kedua

Asumsikan n = k benar, maka, menjadi,

3^k > 1 + 2k dengan k > 2

Lanjut ke langkah ketiga

Akan dibuktikan n = (k + 1) benar, menjadi

3^k+1 > 1 + 2 (k + 1)

3^k+1 = 3 (3^K)

3^k+1 > 3 + 6k

3^k+1 > 3 + 2k

3^k+1 > 1 + 2k + 2

3^{k+1 =} 1 + 2 (k + 1)

Hasilnya, benar

Ada yang masih dibingungkan tentang materi induksi matematika? Tentunya tidak, kan? Karena kita sudah bahas bersama lengkap dengan contoh soal induksi matematika dan jawabannya sekaligus. Dan hasilnya terbukti bahwa rumus induksi matematika memang benar sesuai dengan prinsip induksi matematika seperti yang kita bahas di atas tadi. Demikian, semoga bermanfaat, ya!