Barisan dan Deret – Pernahkah kamu mendengar baris atau barisan? Mungkin yang lebih sering didenger adalah berbaris ya? Ketika mendengar perintah berbaris, apa yang akan kamu lakukan? Pasti berdiri tegak dengan kawan-kawan lainnya dengan membentuk suatu garis yang rapi bukan?
Misalkan saja berbaris keti upacara bendera, pasti kamu diperintahkan untuk berbaris sesuai dengan kelas masing-masing bukan? Nah, sama halnya dnegan barisan pada materi matematika kali ini, barisan dari suatu bilangan haruslah didasari dengan aturan atau pola tertentu. Supaya lebih jelas, langsung simak saja materi baris dan deret di bawah ini.
Barisan
Pengertian Barisan
Perhatikan barisan bilangan di bawah ini:
1,2,3,4,5,6,…. Merupakan barisan bilangan asli
1,3,5,7,9,…… Merupakan barisan bilangan asli ganjil
Maka, dari uraian di atas bisa disimpulkan bahwa pengertian barisan adalah susuan suatu bilangan yang dilandasi dengan suatu aturan tertentu. Bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan dan dinotasikan dengan u. Bilangan atau suku pertama dilambangkan u1 hingga akhirnya sampai suku ke-n atau un (dengan n bilangan asli). Perhatikan dengan seksama gambar di bawah ini:
Selain itu, barisan juga bisa diartikan menjadi fungsi dari suatu bilangan asli atau fungsi dimana domainnya adalah himpunan bilangan asli. Sehingga diperoleh Un= f(n).
Agar lebih bisa memahami pengertian barisan, yuk perhatikan contoh persoalan barisan di bawah ini!
Diketahui: Un = (3n + 2), maka suku ke-5 dari barisan itu adalah
U5= (3(5) + 2)= 17.
Barisan Aritmatika
Pengertian barisan aritmatika adalah suatu baris yang mana suku-sukunya diperoleh dari penambahan maupun pengurangan dari suku sebelumnya dengan bilangan b.
Maka: Un – U(n-1) = b
Sebagai salah satu contohnya yaitu 1, 4, 7, 10, 13 adalah baris aritmatika dengan nilai:
b = (13-10) = (10-7) = (7-4) = (4-1) = 3
guna mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika , dapat diketahui dengan cara mengetahui terlebih dahulu nilai suke ke- k serta selisih antar suku yang saling berdekatan atau b. Adapun rumus yang dapat diterapkan yaitu:
Un = Uk+ (n-k)b
Suku pertama dalam suatu baris aritmatika disebut “a” dan selisih antar suku disebut (b), sehingga nilai k=1 dan nilai Un yaitu:
Un= a +(n-1)b , b adalah beda
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika suatu barisan aritmatika memiliki jumlah suku sebanyak (n) ganjil, dengan suku pertama a serta suku terakhir Un sehingga suku tengah Ut, diperoleh rumus:
Ut = ½(a+Un)
t = ½ (n+1)
Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika diantara dua suku barisan aritmatika disisipkan suku barisan sebanyak k buah sehingga terbentuk suatu barisan aritmatika baru. Jadi, b atau perbedaan akan berubah ketika sudah disisipkan. Beda dari barisan ketika sudah sisiplan yaitu:
b’ =b/(k+1)
dengan:
b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipi k buah suku
k = banyaknya suku yang disispkan
Banyaknya suku dalam suatu barisan (n) juga akan berubah ketika sesudah disisipkan, yaitu menjadi:
n’= n+(n-1)k
dengan:
n’= banyaknya suku barisan aritmatika baru
n= banyaknya suku barisan aritmatika lama
Deret
Pengertian Deret
Deret adalah suatu penjumlahan dari anggota atau suku sebuah barisan.
Contohnya:
2+4+6+8+10
1+3+5+7+11+13
2+6+4+12+22
Deret Aritmatika
Pengertian deret aritmatika adalah suatu penjumlah dari semua anggita atau suku-suku sebuah barisan aritmatika. Hasil penjumlahan dari dari suku pertama hingga suku terakhir atau Un barisan aritmatika dapat dihitung dengan:
Sn= U1+U2+U3+U4+ …… +U(n-1) atau
Sn = a+ (a+b)+ (a+2b)+ (a+3b)+ ……+ (a+(n-2)b)+ (a+(n-1)b)
Jika diketahui suku pertama atau a serta nilai Un, maka nilai deret aritmatika yaitu:
Sn= n/2(a+Un)
Namun jika yang diketahui nilai dari Sn maka untuk mencari Un dapat menggunakan persamaan:
Sn-S(n-1) = Un atau Un= Sn-S(n-1)
Barisan Geometri
Pengertian barisan geometri adalah barisan dengan pembanding antara suku yang satu denga suku lain yang saling berurutan dan bersifat tetap. Pembanding dari kedua suku yang berurutab tersebut disebut rasio dan dilambangkan dengan huruf r. Adapun rumus rasio yaitu:
r = sedangkan untuk rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri yaitu Un= arn-1
keterangan:
Un = suku ken dari suatu barisan.
a = suku pertama dari suatu barisan.
r = rasio.
n = banyaknya suku dalam suatu barisan.
Suku Tengah Barisan Geometri
Bila suatu barisan geometri mempunya jumlah suku sebanyak (n) ganjil, dengan suku pertama a serta suku terakhir Un, maka suku tengah disebut Ut dari barisan tersebut yakni sebagai berikut:
Rumus suku tengah atau Ut dari suat barisan geometri :
Sisipan pada Barisan Geometri
Jika antara dua suku barisan geometri disisipkan sebanyak k buah suku, maka akan terbentuk suatu barisan geometri yang baru, termasuk juga rasio pada barisan tersebut akan berubah setelah disisipkan k buah suku.
Rasio barisan geometri yang berubah setelah disisipkan k buah suku yaitu akan menjadi:
Keterangan:
r’ = rasio barisan geometri yang berubah setelah disisipkan k buah suku.
K = banyaknya suku yang disisipkan dalam barisan geometri.
Selanjutnya, untuk banyaknya suku dari barisan geometri yang telah disisipkan k buah suka juga akan mengalami perubahan, menjadi:
n’ = n+(n-1)k
keterangan:
n’ = banyaknya jumlah suku barisan geometri yang baru setelah disisipkan k buah suku.
n = banyaknya suku barisna geometri lama, sebelum disisipkan k buah suku.
Deret Geometri
Setelah memahami barisan geometri, maka ada juga yang namanya deret geometri. Apa itu deret geometri? Pengertian deret geometri adalah jumlah dari pada suku-suku suatu barisan geometri. Deret geometri pada n suku pertama dilambangkan dengan Sn dan memiliki beberapa rumus di bawah ini:
keterangan:
Sn = jumlah n pada suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyaknya suku
Deret Geometri Tak Berhingga
Suatu barisan geometri yang memiliki rasio antar -1 dan 1 disebut sebagai barisan geometri konvergen. Deret geomertri dari suatu barisan geometri konvergen dan banyaknya suku yang tak berhingga dapat dihitung menggunakan rumus berikut ini:
keterangan:
a = suku pertama dari barisan
r = rasio barisan geometri konvergen dengan syarat antara -1 dan 1.
Hubungan Barisan dan Deret
Hubungan antar barisan dan deret dapat diungkapkan menggunakan rumus:
Un= Sn-Sn-1
Beda pada barisan aritmatika dapat kamu diperoleh dari turunan dua deret aritmatika.
Contoh Soal Barisan dan Deret
Nah, setelah memahami materi barisan dan deret di atas, yuk perhatikan contoh soal di bawah ini, perhatikan baik-baik, kurangi ngelamun ya hehe
Suku ke-10 dari barisan 2, 6, 10, 14, 18 ….yaitu…
Jawab:
a = 2
b = 4
suku ke 10 = U10
Un = a+(n-1)b
U10 = 2 + (10-1)4
U10 = 2+ 9.4
U10 = 2+36
U10 = 38
Tentukan suku Un ke 10 dari barisan geometri 1,3,9,27……
Jawab:
Diketahui :
r = 9:3 = 3 :1 = 3
a = 1
Un = arn-1
U10 = 1.3(10-1)
U10 = 1.37
U10 = 1. 19.683
Jadi U10 dari barisan geometri di atas adalah 19.683
Jadi itulah, materi barisan dan deret, baik aritmatika maupun geometri. Kedunya memiliki sifat serta rumus masing-masing namun saling berkaitan. Semoga contoh soal barisan dan deret aritmatika dan geometri dan penyelesaiannya dapat membantumu dalam belajar. Semangat belajar ya!
REKOMENDASI
Gelombang Cahaya Kamu pasti pernah berpikir mengapa cahaya lampu dapat menyebar hingga ke seluruh ruangan, sehingga seluruh ruangan menjadi terang oleh cahaya. Seperti saat kamu berfoto akan sering mencari angle terdapat cahaya,…
Passive Voice Kamu ingin fasih berbahasa Inggris? Ada satu hal yang tidak boleh kamu lewatkan, yaitu passive voice atau kalimat pasif. Bentuk kalimat yang satu ini sangat lazim digunakan dalam percakapan sehari-hari…
Apa itu Teks Eksposisi? Berikut adalah Pengertian, Fungsi,… Apa itu teks eksposisi? berikut adalah pengertian, fungsi, ciri-ciri, struktur beserta unsur kebahasaan teks eksposisi dan apa saja jenis-jenisnya? Langsung saja ya, kita bahas satu per satu di materi teks…
Turunan Fungsi Aljabar Dalam matematika, ilmu aljabar mengambil peran yang cukup besar. Selain fungsi aljabar, saat duduk di bangku SMA, kamu juga akan disuguhi dengan materi turunan fungsi aljabar. Secara umum, turunan merupakan…
Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Contoh Soal Induksi Matematika - Setelah mempelajari tentang logika matematika, maka kamu harus menguasai juga tentang materi induksi matematika. Coba ingat lagi apa saja materi tentang logika matematika! Ya, betul,…
Materi Bilangan Berpangkat Lengkap Materi Bilangan Berpangkat - Pernahkan kamu mendengar istilah bilangan berpangkat? Atau bahkan belum pernah mendengarnya sama sekali? Nah dalam kesempatan kali ini, kita akan bahas tuntas mengenai materi bilangan berpangkat,…
Pengertian Isomer : Struktur, Posisi, Fungsi, Ruang,… Isomer - Senyawa etanol dan senyawa dimetil eter mempunyai rumus kimia yang, sama yakni C2H6O. Akan tetapi kedua senyawa tersebut mempunyai beberapa sifat yang berbeda. Titik didih pada pada etanol…
Variasi Teknik Block dalam Permainan Bola Voli Teknik block bola voli adalah salah satu teknik dalam permainan bola voli yang berfungsi untuk menghalang serangan lawan. Umumnya, teknik blocking dapat dilakukan sekitar 1 sampai dengan 3 pemain. Sebelum…
Rumus Empiris dan Rumus Molekul Rumus Empiris dan Rumus Molekul - Setiap senyawa kimia bisa dinyatakan menggunakan rumus kima yang akan menunjukkan jumlah relatif dari atom-atom unsur yang ada pada senyawa tersebut. Rumus kimia yang…
Hukum Kekekalan Energi Sesuatu yang sifatnya tidak berubah dapat disebut dengan kekal, sehingga apabila terdapat suatu hukum yang menyatakan bahwa energi tidak dapat mengalami perubahan serta kekal disebut dengan hukum kekekalan energi. Sehingga…
Integral Substitusi dan Parsial Intergral substitusi dan parsial merupakan metode yang bisa kamu gunakan dalam menyelesaikan permasalahan integral itu sendiri. Integral substitusi yaitu metode yang digunakan pada persoalan integral dimana pada bagian fungsi adalah…
Gerak Parabola: Pengertian, Jenis, Ciri, Rumus, Contoh Soal Apa di sekolah Kamu sedang dapat pelajaran mengenai gerak parabola? Jika iya, maka kamu harus mempelajarinya dengan teliti agar Kamu menjadi lebih paham dan bisa menjawab soal-soal yang diberikan oleh…
Mengenal Macam-Macam Bangun Datar dan Rumusnya Seperti yang dijelaskan dalam wikipedia Indonesia, bangun datar adalah sebuah sebutan untuk semua bidang datar bentuk dua dimensi. Bangun datar memiliki beragam bentuk, seperti segitiga, persegi, lingkaran, layang-layang, persegi panjang,…
Present Perfect Continuous Tense Bentuk tense yang berbeda di haruskan untuk mematuhi aturan dalam pembuatan kalimatnya. Terdapat banyak bentuk tense salah satunya adalah present perfect continuous tense sebagai bentuk tense yang sering digunakan. Selain…
Integral Idenfinite Integral/Antiderivatif atau yang lebih akrab disebut integral tak tentu adalah sebuah bentuk operasi integral dalam suatu fungsi, dan bisa menghasilkan fungsi baru. Dalam konsep ini, fungsi utama belum memiliki…
Simple Present Tense Tense menjadi kebutuhan paling utama ketika kamu ingin mempelajari bahasa Inggris. Simple present tense menjadi bentuk tense yang pertama kali harus dipelajari. Perannya sangat penting untuk memudahkan kamu dalam mempelajari…
Present Perfect Tense Tense di perlukan untuk menggambarkan atau menyampaikan suatu kejadian. Begitu pun dengan present perfect tense yang digunakan dalam memberikan informasi atas suatu kejadian dahulu. Namun, kejadian tersebut masih berlanjut hingga…
Pengertian Teks Deskripsi Apa itu teks deskripsi? Berikut adalah pengertian teks deskripsi, ciri-ciri, struktur, jenis, kaidah, cara membuat teks deskripsi dan contoh teks deskripsi itu sendiri. Ya, artikel ini pastiguna buat khusus untuk…
Materi Teks Prosedur Lengkap Materi Teks Prosedur - Penggunaan sebuah cerita atau teks dalam bahasa Indonesia memang berbeda-beda, sebagian besar memang mudah untuk dipahami karena sering kita gunakan dalam kegiatan keseharian. Akan tetapi pada…
Auxiliary Verb Apakah kamu pernah mendengar istilah auxiliary verb? Pada dasarnya ini bukanlah hal yang asing saat kamu mempelajari materi bahasa Inggris. Sayangnya, tidak banyak yang benar-benar paham dengan kata kerja yang…
Stoikiometri : Pengertian, Konsep, Rumus, Sifat Dasar &… Stoikiometri - Reaksi kimia tidak pernah jauh dengan yang namanya persamaan reaksi. Lantas apa hubungannya stoikiometri larutan dengan reaksi kimia? Kamu sudah nggak sabar ingin segera mengetahuinya? Di bawah ini…
Simple Past Tense Untuk mempelajari bentuk tense, mengenal jenis serta aturan atau rumusnya merupakan hal yang penting. Kamu bisa menggunakan beberapa tense dan di pasangkan dengan sebuah kalimat. Simple past tense dibuat dengan…
√ Teks Iklan: Pengertian, Struktur, Fungsi, Kaidah… Teks iklan - Menonton tayangan iklan di televisi kadang kala juga cukup menghibur. Kemasannya selalu unik karena memang bertujuan untuk memikat pemirsa. Salah satu unsur iklan yang baik adalah adanya…
Pertidaksamaan Linear Materi Pertidaksamaan Linear - Saat memasuki jenjang sekolah SMP dan SMA, salah satu materi pembelajaran Matematika yang akan diberikan adalah persamaan dan pertidaksamaan linear. Dalam materi pertidaksamaan linear dibagi menjadi 2…
Hukum Newton 1 2 3 – Pengertian, Bunyi, Rumus, Contoh Hampir semua siswa pasti pernah mendengar mengenai Hukum Newton. Namun, tahukah kamu bahwa hukum tersebut ada tiga jenis yang memiliki bunyi dan rumus berbeda yaitu Hukum Newton 1 2 3.…
Degree of Comparison Dalam kehidupan sehari-hari, pasti kamu pernah membandingkan satu hal dengan hal lain. Dalam bahasa Inggris, terdapat degree of comparison yang dapat kamu gunakan untuk membandingkan dua hal. Tingkat perbandingan dalam…
Interseksi : Pengertian, Bentuk, Pengaruh, Alasan, Saluran,… Interseksi menjadi salah satu pertemuan atau persilangan keanggotaan yang ada di sebuah kelompok sosial, yang berasal dari beragam seksi yang ada. Misalnya seksi yang berupa agama, jenis kelamin, kelas sosial…
Teks Negosiasi : Pengertian, Fungsi, Ciri-ciri, Struktur,… Apa itu teks negosiasi? berikut adalah pengertian, fungsi, ciri-ciri, struktur, kaidah/unsur kebahasaan teks negosiasi beserta pola penyajian dan faktor keberhasilan dari teks negosiasi. Oke, langsung saja simak penjelasan di artikel…
Gerund and Infinitives Pernahkah kalian mendengar istilah gerund dan infinitives? Meskipun terdengar asing, ternyata gerund and infinitives sangat sering dijumpai dalam berbagai teks bahasa Inggris lho. Oleh karena itu, ada baiknya jika kamu…
Materi Irisan Dua Lingkaran Irisan Dua lingkaran - Materi lingkaran dalam pelajaran matematika bisa dikatakan sebagai salah satu materi paling rumit. Di samping banyaknya rumus yang harus kamu hafalkan, banyak teori perhitungan yang harus…