Logika matematika – Saat mempelajari matematika, mungkin yang kamu pikirkan hanya tentang angka, fungsi, kuadrat ataupun program linear. Tapi ternyata, matematika juga memiliki materi tentang logika.
Materi logika matematika sendiri bisa memberikan kamu landasan mengenai cara mengambil suatu kesimpulan. Beberapa hal yang harus dipelajari adalah pernyataan, ingkaran, serta hubungan dua kalimat atau lebih, kamu juga akan mengerti cara menarik kesimpulan dari kalimat yang ada.
Agar lebih jelas, kamu bisa menyimaknya pada ulasan di bawah ini!
Pernyataan
Pernyataan adalah kalimat yang bisa bernilai benar atau salah, tapi bukan juga keduanya. Kalimat bukan suatu pernyataan apabila kamu tidak bisa menentukan kebenaran dari kalimat tersebut. Artinya, kalimat dengan pengertian relatif tidak bisa disebut sebagai pernyataan.
Dalam logika matematika, pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil seperti a, p, r, q, dan sebagainya. Pada materi ini, pernyataan terbagi atas dua jenis, yakni pernyataan tertutup serta pernyataan terbuka. Nah, pernyataan tertutup sudah bisa ditentukan nilai kebenarannya. Namun, pernyataan terbuka belum dapat dipastikan kebenarannya.
Semisal:
10 + 3 = 13 ; ini adalah contoh pernyataan tertutup yang bernilai benar
5 x 7 = 30 ; ini adalah contoh pernyataan tertutup yang bernilai salah
5x + 9 = 19 ; ini adalah contoh pernyataan terbuka karena perlu dibuktikan kebenarannya terlebih dahulu
Lina adalah anak yang pendek ; ini bukan sebuah pernyataan karena pendek adalah hal yang relatif.
Pernyataan Kuantor
Pernyataan kuantor merupakan logika matematika yang berupa pernyataan dengan kuantitas. Pada pernyataan ini, biasanya ada kata-kata sepet seluruh, semua, beberapa, setiap, sebagian, serta ada.
Kata yang mempunyai nilai sama dengan semua, seluruh, dan setiap juga masuk pada jenis kuantor universal. Kata-kata yang memiliki nilai sama dengan beberapa, sebagian, dan ada masuk pada jenis kuantor eksistensial. Antara kuantor universal dengan kuantor eksistensial memiliki nilai yang saling beringkaran.
Agar kamu lebih paham konsep di atas, yuk, simak contohnya di bawah ini!
p = semua orang memiliki smartphone (kuantor universal)
~p = sebagian orang tidak memiliki smartphone
Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk mempunyai pernyataan sejumlah lebih dari satu di dalam sebuah kalimat. Yang mana satu pernyataan dengan yang lain menggunakan kata penghubung. Dalam logika matematika, kata penghubung terdiri dari konjungsi, disjungsi, negasi, implikasi, dan biimplikasi.
Agar kamu tidak semakin bingung, yuk, simak masing-masing penjelasannya!
Negasi (Ingkaran atau Penyangkalan)
Apa itu negasi? Arti negasi adalah kebalikan dari sebuah pernyataan. Apabila pernyataan tersebut dilambangkan dengan p, maka negasinya adalah ~p, begitu juga sebaliknya. Nilai kebenaran bisa ditulis berdasar tabel. Adapun tabel kebenaran negasi adalah sebagai berikut.
| Rumus | |
| P | ~p |
| B | S |
| S | B |
Keterangan :
p = pernyataan
~p = negasi dari pernyataan
B = benar
S = salah
Dari tabel tersebut, coba kita bahas satu contoh soal logika matematika ingkaran berserta jawabannya, ya!
Contoh :
- Ingkaran dari “Andi sudah makan” adalah
Jawab : p = Andi sudah makan (kata “sudah” dinegasikan menjadi “belum”)
~p = Andi belum makan
Konjungsi
Pernyataan p dan q bisa digabung memakai kata hubung “dan”. Sehingga, pernyataan tersebut akan menjadi majemuk “p dan q”. Ini lah yang disebut dengan konjungsi. Dalam logika matematika, pernyataan majemuk konjungsi dilambangkan dengan “pˆq”. Untuk mengecek kebenaran kalimat konjungsi, kamu bisa menyimak pada tabel. Adapun tabel kebenaran konjungsi adalah sebagai berikut.
| p | q | P^q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Keterangan :
p = pernyataan pertama
q = penyataan kedua
B = benar
S = salah
Kalau kamu sudah mencermati tabel tersebut, maka bisa ditarik kesimpulan bahwa pada konsep ini, pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika dan hanya jika dua pernyataan tersebut sama-sama benar.
Contoh soal konjungsi logika matematika bisa kamu lihat di bawah ini!
Tentukan nilai kebenaran dari “1 adalah bilangan bulat dan 8 adalah bilangan prima”.
Jawab :
Pernyataan p = 1 adalah bilangan bulat (benar)
Pernyataan q = 8 adalah bilangan prima (salah)
Dikarenakan p bernilai benar dan q bernilai salah, maka pernyataan p^q bernilai salah.
Disjungsi
Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau”. Dalam kalimat majemuk “p atau q”, dilambangkan dengan simbol “p v q”. Untuk nilai kebenaran dari pernyataan disjungsi sendiri bisa kamu lihat pada tabel. Adapun tabel kebenaran disjungsi adalah sebagai berikut.
| p | q | p v q |
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Kalau melihat tabel, tentu kamu sudah bisa menyimpulkan jika pada konsep disjungsi, nilai salah hanya terjadi apabila kedua pernyataan salah (p dan q bernilai salah).
Biar lebih paham, silakan lihat contoh berikut ini!
Nilai dari pernyataan berikut adalah “Yogyakarta atau Padang merupakan kota yang letaknya ada di Pulau Sumatera.”
Nah, dari pernyataan tersebut, coba kita uraikan satu per satu :
p = Yogyakarta adalah kota yang letaknya ada di Pulau Sumatera (Salah)
q = Padang adalah kota yang letaknya ada di Pulau Sumatera (Benar)
Jika dilihat pada tabel, maka pernyataan disjungsi tersebut mempunyai nilai yang benar. Sebab, S v B = B.
Mudah, kan? Kalau sudah bisa memahaminya, kita bisa beralih ke materi yang selanjutnya!
Implikasi
Apa itu implikasi? Pengertian implikasi adalah hubungan diantara dua pernyataan yang mana pernyataan kedua itu merupakan konsekuensi logis atas pernyataan yang pertama. Implikasi akan dilambangkan dengan notasi “=>”. Semisal, p dan q adalah suatu pernyataan implikasi, maka bisa ditulis jadi “p => q”. Nah, lambang tersebut bisa dibaca dengan “jika p maka q”.
Untuk nilai kebenaran dari implikasinya, bisa kamu lihat pada tabel. Adapun tabel kebenaran implikasi adalah sebagai berikut.
| p | q | P => q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
p = pernyataan pertama
q = pernyataan kedua
B = benar
S = salah
Setelah tabel di atas dicermati, kamu bisa tahu kalau nilai kebenaran dari pernyataan konjungsi hanya akan jadi salah apabila pernyataan kedua bernilai salah. Biar lebih paham, yuk simak contoh soal implikasi logika matematika di bawah ini!
Jika 8 + 2 = 10, maka 10 – 2 = 8
Mari kita uraikan soal tersebut untuk bisa menentukan nilai kebenarannya!
Anggap lah pernyataan pertama adalah p dan pernyataan kedua adalah q, maka, bisa dilihat bahwa :
p = benar
q = benar
Maka, pernyataan konjungsi tersebut bernilai benar.
Biimplikasi
Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata “jika dan hanya jika”. Jika dua pernyataan dilambangkan dengan p dan q, maka bentuk biimplikasinya menjadi “p ó q”. Ingin tahu kebenaran biimplikasi, silakan kamu lihat tabel. Adapun tabel kebenaran biimplikasi adalah sebagai berikut.
| p | q | P ó q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
p = pernyataan pertama
q = pernyataan kedua
B = benar
S = salah
Berdasarkan tabel tersebut, dapat disimpulkan bahwa pada konsep biimplikasi, nilai menjadi benar apabila pernyataan p dan q memiliki nilai yang sama. Baik bernilai benar ataupun salah.
Agar lebih paham, yuk, kita bahas melalui contoh kalimat biimplikasi berikut!
“Ayah akan memeroleh uang jika dan hanya jika ayah berdagang”
Apabila ayah memeroleh uang, maka ayah berdagang dan jika ayah sudah berdagang, maka ayah akan memeroleh uang. Sebaliknya, apabila ayah tidak memeroleh uang, maka ayah tidak sedang berdagang.
Itulah pembahasan mengenai logika matematika. Pastinya, kamu akan lebih paham jika semakin banyak mengerjakan soal logika matematika dan terus berlatih.
