Persamaan Lingkaran – Jika kamu memerhatikan roda mobil, tentu dari titik tengah ke sisi-sisi lingkarannya akan mempunyai jarak yang sama. Sebab, lingkaran bisa diartikan sebagai tempat kedudukan titik-titik mempunyai jarak yang sama pada titik tertentu pada bidang datar. Titik dalam hal ini dimaksudkan sebagai pusat lingkaran, sedangkan jarak adalah jari-jari. Nah, setelah kamu tahu apa itu lingkaran, yuk, kita bahas tentang persamaan lingkaran!
Rumus Persamaan Lingkaran
Persamaan lingkaran ada beberapa jenis. Mulai dari persamaan yang terbentuk dari jari-jari dan titik pusat, serta persamaan yang dapat dicari jari-jari dan titik pusatnya. Nah, persamaan umum lingkaran sendiri adalah:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Dari persamaan tersebut, kamu bisa menentukan titik pusat dan juga jari-jarinya. Berikut rumusnya:
Rumus Pusat Lingkaran
Sedangkan rumus jari-jari lingkarannya
Persamaan Lingkaran dengan Pusat P (a, b) dan Jari-jari r
Kalau lingkaran sudah diketahui titik pusat serta jari-jarinya, maka bisa menggunakan rumus persamaan lingkaran berikut ini!
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Dari persamaan itu, kamu bisa menentukan apakah suatu titik ada di dalam lingkaran atau di bagian luarnya. Supaya kamu bisa menentukan letaknya, silakan substitusikan titik di variabel x serta y. Lalu, kamu bandingkan saja hasilnya dengan kuadrat jari-jari.
Jika titik M (x1, y1) berada pada lingkaran, maka:
(x1 – a)2 + (y2 – b)2 = r2
Sedangkan apabila titik M tersebut ada di dalam lingkaran, maka:
(x1 – a)2 + (y2 – b)2 < r2
Apabila titik M berada di luar lingkaran, maka:
(x1 – a)2 + (y2 – b)2 < r2
Selain menggunakan rumus persamaan lingkaran di atas, kamu juga bisa mengerjakan soal persamaan lingkaran dengan menggunakan rumus bantu. Berikut rumusnya!
Untuk menentukan titik tengah dari lingkaran, kamu pakai rumus ini:
( (x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2
Persamaan Lingkaran dengan Pusat O (0, 0), Jari-jari r
Apabila titik pusat lingkaran terletak pada O (0, 0), maka substitusi di bagian yang sebelumnya adalah:
(x – 0)2 + (y – 0)2 = r =>x2 + y2 = r2
Berdasarkan persamaan tersebut, kamu juga bisa menentukan letak dari titik tertentu pada lingkaran.
Jika titik M (x1,y1) ada pada lingkaran, maka x12 + y12 = r2
Jika terdapat dalam lingkaran, maka x12 + y12 < r2
Sedangkan, di luar lingkaran, maka x12 + y12 > r2
Apakah kamu masih merasa bingung? Jika iya, pahami dulu contoh soal berikut ini, ya!
Contoh Soal Persamaan Lingkaran
1. Contoh Soal
Suatu lingkaran mempunyai titik pusat (2, 3) serta diameter 8 cm. Coba, cari persamaan lingkaran tersebut!
Pembahasan:
Diketahui diameternya adalah 8, maka, r = ½ . d = ½ . 8 = 4. Persamaan lingkaran yang terbentuk menjadi:
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 42
x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 16
x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0
Jadi, persamaan lingkaran dari diameter 8 cm dan titik pusat (2, 3) adalah x2 + y2 – 4x – 6y – 3 = 0
2. Contoh Soal
Tentukan pusat serta jari-jari dari persamaan lingkaran ini x2 + y2 – 4x + 6y -3 = 0!
Pembahasan:
Dari persamaan lingkaran tersebut, diketahui bahwa A = -4 dan B = 6, sedangkan C = -3.
Kamu bisa gunakan rumus yang sudah dijelaskan di atas untuk menentukan pusat dan jari-jari lingkarannya.
Pusat => A (a, b) = (-A/2, -B/2) = (- (-4/2), -6/2) = (2, -3)
Sedangkan jari-jarinya adalah => r2 = a2 + b2 – C => r2 = 22 + (-3)2 => r2 = 16, r = 4
Jadi, pusat lingkaran dengan persamaan x2 + y2 – 4x + 6y -3 = 0 adalah (2, -3), sedangkan jari-jarinya adalah 4 cm.
Perpotongan Garis dan Lingkaran
Lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 – Ax + By + C = 0 juga bisa ditentukan apakah garis h yang mempunyai persamaan y = mx + n itu tidak menyinggung, menyentuh, maupun memotong lingkaran. Caranya, dengan memakai prinsip diskriminan.
Persamaan 1 => x2 + y2 – Ax + By + C = 0
Persamaan 2 => y = mx + n
Substitusikan persamaan 2 pada persamaan 1. Lalu, akan didapatkan bentuk persamaan kuadrat berikut:
x2 + (mx + n)2 – Ax + B (mx + n) + C = 0
Lalu, bandingkan nilai diskriminannya. Dari situ bisa dilihat apakah garis memotong, menyinggung, atau tidak.
Jika D < 0, maka garis h tidak menyinggung ataupun memotong lingkaran.
Jika D = 0, berarti garis h menyinggung lingkaran.
Jika D > 0, berarti garis h memotong lingkaran.
Biar lebih jelas, coba kamu lihat gambar di bawah ini!
Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Garis singgung pada lingkaran tentu akan bertemu tepat dengan satu titik di suatu lingkaran. pada titik pertemuan tersebut, bisa ditentukan persamaan garisnya. Persamaan yang melalui suatu titik P (x1, y1) bisa ditentukan dengan rumus persamaan lingkaran yang sudah dibahas sebelumnya.
x2 + y2 = r2
Maka, persamaan garis singgungnya menjadi: xx1 + yy1 = r2
Untuk bentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka persamaan garis singgungnya menjadi:
(x – a) (x 1 – a) + (y – b) (y1 – b) = r2
Lain lagi dengan bentuk x2 + y2 – Ax + By + C = 0, maka persamaan garis singgungnya menjadi:
xx1 + yy1 + A/2 (x + x1) + B/2 (y + y2) + C = 0
Biar kamu lebih paham, sebaiknya simak contoh soalnya di bawah ini!
Contoh Soal
Pada lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0, persamaan garis singgung pada titik (-1, 1) adalah …
Jawab:
Kamu bisa tahu dari soal tersebut, persamaan lingkarannya adalah x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0, sehingga, A = -4, B = 6, serta C = -12. Lalu, x1 = -1 dan y1 = 1.
Masukkan angka-angka yang sudah diketahui tersebut pada rumus yang sudah diberikan pada materi.
xx1 + yy1 + A/2 (x + x1) + B/2 (y + y2) + C = 0
x (-1) + y (1) – /2 ( x -1) + 6/2 (y + 1) – 12 = 0
-3x + 4y – 7 = 0
Jadi, persamaan garis singgung dari lingkaran di atas adalah 4y = 3x + 7.
Cukup dulu pembahasan tentang persamaan lingkarannya. Semoga mudah untuk dipahami, ya! Jangan lupa memperbanyak latihan soal agar kamu semakin lincah mengerjakannya. Selamat belajar.
REKOMENDASI
Turunan Fungsi Aljabar Dalam matematika, ilmu aljabar mengambil peran yang cukup besar. Selain fungsi aljabar, saat duduk di bangku SMA, kamu juga akan disuguhi dengan materi turunan fungsi aljabar. Secara umum, turunan merupakan…
Hukum Pascal Banyak yang mengatakan bahwa belajar fisika itu susah dan malah membuat pusing, hehe. Namun, tidak sedikit orang yang justru menyukai pelajaran fisika. Mungkin kamu adalah salah satu yang gemar mempelajari…
Geometri Bidang Datar Geometri Bidang Datar - Dari sekian banyak ilmu dasar pada matematika, ada satu lagi yang mesti kamu kuasai, yakni transformasi geometri dan geometri bidang datar. Pasalnya, ilmu ini akan berguna…
Matriks Dasar dan Operasi Matriks: Ringkasan Materi Lengkap Pada materi dasar matematika, mungkin kamu akan banyak belajar tentang penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian ataupun teori geometri dasar. Namun tahukan kamu, jika perasi dasar layaknya perkalian dan penjumlahan dasar memang…
Ikatan Hidrogen adalah? Pengertian, Gambar, Sifat, Contoh… Apa itu ikatan hidrogen? Kok ikatan ya, kaya tali aja hehe. Ikatan hidrogen adalah gaya tarik molekul-molekul antara atom sangat elektronegatif dengan atom hidrogen terikat atau yang biasa dilambangkan dalam …
Hukum Hooke Dalam ilmu fisika terdapat berbagai hukum yang dapat Kamu pelajari untuk mendukung pemahaman fisika Kamu, salah satu hukum dalam ilmu fisika yang akan dibahas dalam uraian berikut yaitu terkait hukum…
Gerak Melingkar Beraturan Alam dan kehidupan sehari-hari penuh dengan contoh-contoh gerak melingkar beraturan (GMB). GMB terjadi karena gaya sentripetal, gaya yang menunjuk ke pusat lingkaran. Secara matematis, sebuah objek dalam gerakan melingkar beraturan…
Kelompok Sosial: Pengertian, Macam, Klasifikasi, Syarat,… Kelompok Sosial - Jangan pernah lupa bahwa sebagai manusia, kita ini merupakan makhluk sosial. Apa itu? Hehe sudah lupa ya? Makhluk sosial berarti kita membutuhkan makhluk hidup lain untuk bisa…
Materi Limit Fungsi Aljabar & Trigonometri Jadi Lebih… Materi limit fungsi - Pasti kamu pernah mendengar kata limit, limited bukan? kata limit yang biasa kita dengar berarti sedikit atau mendekati, misalnya limited edition ini berarti persediaan yang sedikit…
Lensa Cekung Lensa adalah alat optik transmisif yang menyebarkan atau memfokuskan sinar dengan cara pembiasan. Cekung berarti lebih masuk ke dalam atau melengkung. Jadi, lensa cekung itu lebih masuk ke dalam. Lensa…
Usaha dan Energi Bagi kamu yang menyukai pelajaran fisika tentu sudah tidak asing lagi dengan istilah usaha dan energi kan? Sebuah energi yang disalurkan untuk dapat membuat suatu benda bergerak karena adanya gaya…
Mengenal Lebih Jauh tentang Zat Gas Zat gas merupakan salah satu dari empat keadaan mendasar materi bersama dengan zat padat, cair, dan plasma. Dalam kondisi biasa, keadaan gas adalah antara keadaan cair dan plasma. Suatu gas…
Gaya Lorentz Berbicara tentang ilmu fisika pasti tidak asing dengan istilah gaya bukan? Yap, Gaya mempunyai jenis yang beragam, salah satunya gaya Lorentz. Penamaan gaya tersebut biasanya diambil dari nama belakang penemu…
Prinsip Seni Rupa 2 Dimensi dan 3 Dimensi Beserta… Elemen dan prinsip seni rupa adalah dasar dari yang digunakan oleh manusia untuk menciptakan sebuah karya. Elemen-elemen seni rupa adalah alat visual yang digunakan seniman untuk membuat komposisi. Prinsip-prinsip tersebut…
Materi Bilangan Berpangkat Lengkap Materi Bilangan Berpangkat - Pernahkan kamu mendengar istilah bilangan berpangkat? Atau bahkan belum pernah mendengarnya sama sekali? Nah dalam kesempatan kali ini, kita akan bahas tuntas mengenai materi bilangan berpangkat,…
Hukum Kekekalan Energi Sesuatu yang sifatnya tidak berubah dapat disebut dengan kekal, sehingga apabila terdapat suatu hukum yang menyatakan bahwa energi tidak dapat mengalami perubahan serta kekal disebut dengan hukum kekekalan energi. Sehingga…
Penggunaan Tanda Baca beserta Fungsi dan Cara Penulisannya Penggunaan tanda baca - Membaca sebuah tulisan pastinya kamu pernah melihat tanda berupa titik, koma, tanda seru, tanda tanya dan banyak lagi. Itu merupakan tanda baca yang sangat penting dalam…
Besaran Pokok dan Besaran Turunan Ada 2 jenis besaran dalam ilmu fisika, yaitu besaran pokok dan besaran turunan. Sedangkan untuk penggunaannya, tergantung pada konteks dan kebutuhan. Bagaimanapun, sistem Satuan Internasional (disingkat SI Satuan dari nama…
Hukum Archimedes Hukum Archimedes yang juga dikenal sebagai hukum fisik daya apung yang ditemukan oleh ahli matematika dan ilmuwan Yunani kuno, Archimedes. Archimedes menelusuri jejak Euclid dalam membuat aksioma tertentu yang merupakan…
Materi Persamaan Kuadrat : Rumus ABC, Contoh Soal Dan… Pengertian persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dari variabel-variabel yang memiliki pangkat paling tinggi dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat ialah: ax2 + bx + c = 0 Dari persamaan di…
Teknik Perspektif: Pengertian, Fungsi, Jenis, Contoh Gambar Satu lagi teknik menggambar yang menarik untuk dikulik, yakni teknik perspektif. Rasanya belum cukup jika kita hanya belajar apa itu teknik arsir, pointilis, dussel dan lainnya. Pembahasan mengenai teknik perspektif…
Interseksi : Pengertian, Bentuk, Pengaruh, Alasan, Saluran,… Interseksi menjadi salah satu pertemuan atau persilangan keanggotaan yang ada di sebuah kelompok sosial, yang berasal dari beragam seksi yang ada. Misalnya seksi yang berupa agama, jenis kelamin, kelas sosial…
Teori Relativitas Waktu dan ruang dapat berubah dan tidak konstan. Teori ini mengembangkan teori dari seorang ilmuwan bernama Sir Isaac Newton bahwa waktu dan ruang itu konstan. Pemahaman baru ini dijelaskan dalam…
Hukum Faraday: Pengertian, Bunyi, Rumus dan Contoh Soalnya Hukum Faraday merupakan hukum dasar Elektromagnetisme yang menyatakan bahwa arus listrik dapat menghasilkan medan magnet. Hal itu juga berlaku sebaliknya, bahwa medan magnet juga dapat menghasilkan arus listrik. Hukum faraday…
Materi Irisan Dua Lingkaran Irisan Dua lingkaran - Materi lingkaran dalam pelajaran matematika bisa dikatakan sebagai salah satu materi paling rumit. Di samping banyaknya rumus yang harus kamu hafalkan, banyak teori perhitungan yang harus…
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Dengan 3… Dalam ilmu matematika, Anda akan mengenal dua kalimat matematika dalam bentuk persamaan dan pertidaksamaan linear. Sistem persamaan linear sendiri terbagi menjadi sistem persamaan linear dua variabel dan sistem persamaan linear…
Suhu dan Kalor Suhu dan kalor merupakan salah satu materi yang ada dalam ilmu fisika. Pembahasan kali ini biasanya sangat identik dengan panas, namun maksud dari ilmu fisika yang satu ini tidaklah selalu…
Hukum Kirchoff 1 dan 2 Seorang ilmuwan berasal dari Jerman bernama Gustav Robert Kirchoff menemukan konsep dasar mengenai teori spektroskopi, rangkaian listrik, dan emisi radiasi benda. Teori tersebut dikenal dengan hukum Kirchoff 1 dan 2.…
Memahami Logaritma Itu Mudah! Bonus 5 Contoh Soal dan… Materi logaritma kelas 10, kamu sudah mempelajari mengenai bilangan eksponen atau bilangan berpangkat. Kali ini, kamu juga akan tau mengenai kebalikan dari eksponen, yakni logaritma. Jadi, kalau pada eksponen, yang…
Tolak Peluru Pengertian, Teknik, Lapangan, Peraturan, Gaya… Tolak peluru adalah sebuah olahraga yang melibatkan gerakan melempar. Olahraga tolak peluru menjadi salah satu cabang di olahraga atletik. Mau tahu seperti apa pengertian, sejarah dan teknik yang digunakan dalam…
