Kaidah Pencacahan, Peluang, Permutasi, dan Kombinasi

kaidah pencacahan
kaidah pencacahan

Salah satu materi matematika yang sering kali dianggap sulit oleh para siswa, padahal metode pemahamannya cukup mudah adalah kaidah pencacahan, peluang, permutasian, dan kombinasi. Asalkan kamu paham rumus dan penerapan dari materi ini, setiap soal bisa kamu kerjakan dengan mudah.

Kaidah Pencacahan

Kaidah pencacahan adalah sebuah aturan untuk mengetahui banyaknya objek atau kejadian tertentu yang muncul. Disebut sebagai pencacahan yakni karena hasilnya berwujud bilangan cacah.

Dalam kaidah pencacahan, terdapat tiga metode yang bisa kamu gunakan, yaitu metode aturan pengisian tempat (Filling Slots), metode permutasian dan juga metode kombinasi.

Aturan Pengisian Tempat (Filling Slots)

Aturan pengisian tempat bisa dipahami secara mudah dengan menjabarkannya dalam pasangan terurut. Apabila suatu kejadian pertama bisa terjadi dengan lambang  n_1 cara yang tidak sama, kejadian kedua pun bisa terjadi dengan cara berbeda, dan seterusnya, maka kejadian tersebut secara berturut-turut menjadi:

cara yang tidak sama.

Sebagai contoh:

Seorang ibu memiliki 5 buah baju dan 3 buah kerudung yang masing-masing memiliki warna berbeda. Berapa pasangan warna baju dan kerudung yang bisa dibuat? Jika himpunan baju adalah k = ( k_1, k_2, k_3, k_4) = 5 buah, dan himpunan kerudung adalah d = (d_1, d_2) = 3 buah.

Maka bisa ditentukan bahwa:

= 5 x 3 = 15 cara

Permutasi

Permutasi ialah susunan berurutan dari sebagian atau semua elemen dalam sebuah himpunan. Untuk menentukan permutasi, kamu harus terlebih dahulu mengetahui faktorial. Dimana hasil kali bilangan buat 1 sampai dengan n adalah n! (dibaca: n faktorial) atau:

Contoh:

5! = 5 x 4 x 3 x 1 = 120. Untuk menyelesaikan soal permutasi ini, kamu bisa menggunakan 4 metode, yakni:

  1. Permutasi dari elemen berbeda

Permutasi elemen dari setiap elemen yang berbeda ialah susunan elemen itu pada suatu urutan yang diperhatikan. Jadi, jika (r > n), maka permutasiannya adalah:

sehingga, jika n = r, maka permutasiannya adalah:

Sebagai contoh:

Susunlah 3 elemen dari 3 huruf, a, b, c adalah a,b,c a,c,b b,a,c c,a,b c,b,a dengan . Sementara susunan 2 elemen dari 3 huruf ialah menggunakan .

2. Permutasi dengan beberapa elemen sama

Masing-masing unsur yang dipakai tidak boleh lebih dari satu kali. Banyaknya permutasi elemen n yang dapat dimuat elemen adalah dengan ialah:

Sebagai contoh:

Ada tiga bola volly dan 2 bola basket. Maka jumlah cara menyusunnya adalah sebagai berikut:

3. Permutasi Siklis

Rumus dari permutasi siklis umumnya diterapkan untuk menghitung banyak cara yang bisa dibuat dalam susunan melingkar. Berikut ini rumus permutasi siklis:

P(siklis) = n – 1)!

Sebagai contoh:

Banyaknya cara 5 orang yang duduk melingkar dalam sebuah meja adalah

P = (5 – 1)! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

4. Permutasi berulang

Permutasi berulang ialah permutasi dimana penyusunan urutannya diperhatikan dan suatu objek bisa dilihat secara berulang (lebih dari satu kali). Banyaknya permutasi berulang ialah:

Untuk rumus permutasi berulang sendiri adalah sebagai berikut:

Kombinasi

Kombinasi merupakan pengelompokan dari sebagian atau seluruh elemen pada suatu himpunan tanpa memperhatikan urutan susunan pemilihannya terlebih dahulu.

Rumus dari kombinasi ialah sebagai berikut:

Sebagai contoh:

Kombinasi elemen dari 3 huruf a,b,c adalah ab, ac, bc. Sementara ba, ca, cb bukan termasuk dalam hitungan, sebab pada kombinasi ab=ba, ac=ca, bc=cb. Banyak kombinasinya adalah:

Binom Newton

Binom Newton memiliki hubungan dengan bentuk . yang mana suku ke-r dalam bentuk tersebut ialah:

suku ke-r =

Sebagai contoh:

Koefiesien dari ialah:

Agar x berpangkat 27, maka dibuat:

Jadi:

  • suku ke-4 =
  • koefisiennya adalah 3640

Peluang Suatu Kejadian

Probabilitas atau yang lebih dikenal dengan istilah peluang merupakan kemungkinan suatu kejadian dapat terjadi. Percobaan ialah suatu proses yang dilakukan sehingga dapat memperoleh suatu hasil perhitungan, pengukuran atau pengamatan.

Himpunan dari seluruh hasil yang mungkin pada suatu percobaan disebut dengan sampel (S). Sehingga, peristiwa atau kejadian adalah himpunan bagian daripada ruang sampel atau bagian percobaan yang diinginkan tersebut.

Nilai dari peluang yakni antara 0-1. Kejadian yang memiliki nilai probabilitas 0 ialah kejadian atau peristiwa yang tidak mungkin atau mustahil terjadi. Sementara kejadian yang memiliki nilai probabilitas 1, ialah kejadian yang pasti atau sudah terjadi.

Peluang dari suatu kejadian A bisa terjadi dengan K, dan mungkin saja hasil terjadi m cara  sebagai:

Frukuensi harapan pada suatu kejadian ialah hasil kali banyaknya percobaan dengan peluang kejadian yang pasti/akan terjadi pada suatu percobaan:

f_n(E) = n \cdot P(A)

Peluang Kejadian Majemuk

Peluang kejadian majemuk adalah dua atau lebih kejadian yang masih dioperasikan, dengan begitu akan membentuk suatu kejadian baru.

Pada dua kejadian A dan B dikatakan gabungan dua kejadian apabila A dan B bisa terjadi secara bersamaan, sehingga A\cap B\neq {\O} serta menghasilkan rumus:

peluang kejadian majemuk

Penjumlahan Peluang 

1. Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas

Dua kejadian A dan B bisa dikatakan gabungan dua kejadian saling lepas apabila kejadian A dan B tidak akan mungkin terjadi bersamaan. Maka  A\cap B dan akan menghasilkan rumus berikut:

peluang gabungan saling lepas

2. Peluang Komponen Suatu Kejadian

Kejadian ialah komponen/kebalikan A, jadi A dan A’ ialah kejadian saling lepas, maka A\cap A' ={\O} dan tercipta rumus:

materi permutasi kombinasi komplemen

3. Peluang Kejadian Bersyarat

Dua kejadian bisa disebut kejadian bersyarat apabila munculnya kejadian pertama (A) mempengaruhi peluang munculnya kejadian kedua (B). Maka peluang dari kejadian kedua yang terpengaruh oleh kejadian pertama dapat dituliskan dengan P(B | A). Jika P(A\cap B) merupakan peluang kejadian A dan B, maka rumusnya:

P(B\mid A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}

Contoh Soal Peluang dan Pembahasannya

Soal 1.

Pada sebuah toples berisi 7 kelereng hijau, dan 5 kelereng kuning. Dari toples tersebut diambil 3 kelereng sekaligus. Peluang terambilnya sekurang-kurangnya 1 kelereng kuning adalah:

Pembahasan:

Karena harus mengambil setidaknya 1 kelereng kuning, berarti peluang tidak terambilnya kelereng kuning tidak masuk hitungan, sehingga:

P = 1 - P(O) = 1 - \frac{_7C_3 \times _5C_0}{_{12}C_3}

P = 1 - \frac{\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{3!(7 - 3)!} \times \frac{5!}{0!(5 - 0)!}}{\frac{12 \times 11 \times 10 \times 9!}{3!(12 - 3)!}}

P = 1 - \frac{35 \times 1}{220} = \frac{37}{44}

Soal 2.

Berapa banyak ukuran yang bisa terjadi apabila 5 bendera putih, merah, kuning, hijau dan biru dipancang pada satu baris tiang, dengan bendera merah selalu berada pada salah satu ujung baris.

Pembahasan:

Karena bendera merah dipancang pada salah satu ujung, maka dengan 2 cara, sisa 4 bendera lain yang dapat diatur dalam _4P_4 cara, jadi:

Jumlah urutan = = 2 \times _4P_4 = 2 \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 48 urutan.

Soal 3.

Ada 3 orang anak yang duduk berjejer di bangku yang memanjang. Berapa cara agar mereka bisa duduk bersama pada bangku tersebut?

Pembahasan:

Ketiga orang anak akan duduk bersama, maka kamu bisa menggunakan rumus permutasi P(3,3)

P(3,3) = 3 = 2 x 2 x 1 = 6

Jadi, ketiga orang anak tersebut bisa duduk bersama dengan 6 cara.

Soal 4.

Suatu huruf akan dipilih abstrak dari kata “JURAGAN”. Tentukan peluang terpilihnya huruf A!

Pembahasan:

Banyak kejadian yang dimaksud dalam soal ini adalah = 2, karena huruf A pada kata “JURAGAN” ada 2 buah.

Banyak kejadian yang mungkin terjadi adalah = 7, karena jumlah huruh ada 7 buah.

Sehingga P (huruf A) ialah 2/7.

Soal 5.

Pada percobaan melempar 2 buah dadu, tentukan peluang munculnya mata dadu genap pada dagu pertama, dan mata dadu ganjil pada dadu kedua.

Pembahasan:

Misal A adalah kejadian munculnya mata dadu genap pada dadu pertama {2,4,6} jadi P(A) = 3/6

Misal B adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil prima pada mata dadu kedua {3,5} maka P(B) = 2/6

Karena kejadian A tidak berpengaruh terhadap kejadian B, maka rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

P(A n B) = P(A) x P(B)

P(A n B) = 3/6 x 2/6 = 1/6

Mudah bukan? Materi peluang ini sangat sering diterapkan dalam kehidupan sehari-hari, jadi kamu harus memahaminya dengan baik ya!