Bahas Tuntas Tentang Turunan Fungsi Trigonometri, Bonus 8 Soal Latihan

turunan fungsi trigonometri
turunan fungsi trigonometri

Turunan fungsi trigonometri – Sebelumnya mungkin kamu sudah paham dengan fungsi turunan aljabar, dan bagaimana aplikasinya dalam matematika maupun dalam kehidupan sehari-hari. Tapi, ternyata materi fungsi turunan belum berhenti disitu lho. Kamu juga harus belajar mengenai turunan fungsi trigonometri.

Apakah kamu tahu, apa turunan fungsi trigonometri sebenarnya? Turunan fungsi trigonometri merupakan proses rumus atau sistematis guna menemukan turunan pada tingkat perubahan suatu fungsi trigonometri pada tiitk tertentu.

Adapun fungsi trigonometri yang paling umum digunakan adalah tan(x), sin(x) dan cos(x).

Contohnya yaitu:

f(x)= sin(x) kemudian ditulis f(a)= cos(a). Dimana f’(a) merupakan perubahan sin(x) pada titik a. adapun rangkuman rumus turunan trigonometri dapat kamu lihat di bawah ini.

Yang perlu diketahui, turunan fugsi sin(x) serta cos(x) dapat digunakan untuk mencari turunan fungsi trigonometri lingkaran. Selanjutnya, hasil bagi akan digunakan untuk menentukan turunannya. Di samping itu, untuk mencari turunan fungsi trigonometri invers akan memerlukan diferensiasi implisit serta turunan fungsi trigonometri yang biasa.

Rumus Fungsi Trigonometri

Setelah memperhatikan penjelasan singka di atas, kamu sudah paham bukan pengertian dari turunan fungsi trigonometri? Nah, sebelum menyelesaikan persoalan terkait turunan geometri, perhatikan dengan seksama terlebih dahulu, penjelasan turunan dasar trigonometri yang mutlak kamu ketahui berikut ini:

  • f(x)=sin x→f ‘(x)=cos x
  • f(x)=cos x→f ‘(x)= −sin x
  • f(x)=tan x→f ‘(x)= sec2 x
  • f(x)=cot x→f ‘(x)=  −csc2x
  • f(x)=sec x→f ‘(x)=sec x . tan x
  • f(x)=csc x→f ‘(x)=−csc x . cot x.

Rumus-rumus di atas akan lebih mudah dipahami dengan cara langsung menggunakannya sebagai metode memecahkan suatu persoalan. Akan tetapi, dari rumus sebelumnya masih bisa untuk diperluas kembali menjadi beberapa rumus. Perhatikan informasi selengkapnya berikut ini!

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Pertama

Jika diketahui u merupakan fungsi yang dapat diturunkan kepada x, dimana u’ adalah turunan u kepada x, sehingga:

f(x)=sin u→f ‘(x)=cos u . u’
f (x)=cos u→f ‘(x) =−sin u . u’
f (x)=tan u →f ‘(x)=sec2u . u’
f (x)=cot u → f ‘(x) =−csc2 u . u’
f (x) = sec u → f ‘(x) =  sec u tan u . u’
f (x) = csc u → f ‘(x) =  −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Kedua

Selain perluasan rumus turunan geometri pertama yang telah disebutkan di atas, ternyata ada juga lho perluasan rumus turunan geometri yang kedua. Turunan pada fungsi rumus cos sin tan trigonometri terhadap variabel sudut ax+b, dengan a dan b merupakan bilangan real serta tidak sama dengan 0. Berikut informasinya:

f (x)= sin (ax + b)→ f ‘(x) =a cos (ax + b)
f (x)= cos (ax + b)→ f ‘(x) =-a sin (ax + b)
f (x)= tan (ax + b)→ f ‘(x) =a sec2 (ax +b)
f (x)= cot (ax + b)→ f ‘(x) =-a csc2 (ax+b)
f (x)= sec (ax + b)→ f ‘(x) =a tan (ax + b) . sec (ax + b)
f (x)= csc (ax + b)→ f ‘(x) =-a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Fungsi Turunan

Kamu merasa sulit menghafal turunan trigonometri sin dan kawan-kawannya? Tenang aja, di bawah ini ada tips biar gampang ngehafalinnya ya.

Jadi, dengan ilustrasi sederhana di atas kamu bakal lebih mudah memahami turunan sinus dan kosinus dong.

Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri

Salah satu trik agar mudah memahami rumus matematika adalah dengan menerapkannya pada penyelesaian permasalahan materi tersebut. Dengan begitu, kamu tidak hanya membayangkannya saja namun langsung mengaplikasikan rumus tersebut. Yuk coba perhatikan contoh soal berikut penyelesaiannya di bawa ini:

Contoh Soal Pertama,

Tentukan turunan dari fungsi y = cos x3

Penyelesaian:

Diketahui u = x3  ⇒ u’ = 3x

y’ = -sin u.u’

y’ = -sin x3. 3x

y’ = -3x sin x3

Contoh Soal Ke- Dua

Tentukan turunan dari fungsi y = sin 2x !

Penyelesaian :

Diketahui u = 2x ⇒ u’ =2

y’ = cos u.u’

y’ = cos 2x . 2

y’= 2cos 2x

Contoh Soal Ke- Tiga

Tentukan turunan dari fungsi y = sec x

Penyelesaian :

Diketahui u = x ⇒ u’ =

y’ = sec u tan u.u’

y’ = sec   x tan .

y’ =    tan

Contoh Soal Ke- Empat

Tentukan turunan dari fungsi y = tan (4x+1)

Penyelesaian:

Diketahui u = 4x + 1 ⇒ u’ = 4

y’ = sec2u . u’

y’ = sec2 (4x+1) . 4

y’ = 4sec2 (4x+1)

Contoh Soal Ke- Lima

Tentukan turunan dari fungsi y= sin5 (3x-2)

Penyelesaian:

y = [sin (3x-2)]5

Diketahui u(x) = sin (3x-2) ⇒ u’(x) = 3 cos (3x-2)

n = 5

y’ = n [u(x)] n-1. u’(x)

y’ = 5 [sin (3x-2)]5-1 . 3 cos (3x-2)

y’ = 15 sin4 (3x-2) cos (3x-2)

Contoh Soal Ke- Enam

Tentukam turunan pertama dari fungsi f(x) = 6 cos (5 – 2x) !

Penyelesaian:

f (x) = a.cos (bx + c) sehingga f’(x) = -ab. Sin (bx + c).

maka :

f(x) = 6 cos (5 – 2x)

f’(x) = -6. (-2). Sin (5 – 2x)

= 12 sin (5-2x)

Contoh Soal Ke- Tujuh

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = (4x – 2) sin (3x + 1) !

Penyelesaian:

f (x) = (4x – 2) sin (3x + 1) kita misalkan dahulu dengan

u=4x – 2⇒u’ =4

u = sin (3x + 1) ⇒ u’ = 3 cos (3x + 1)

Diketahui :

f’ (x) = u’.u + u’.u

f’ (x) = 4. Sin (3x +1) + 3 cos (3x +1) . (4x – 2)

f’ (x) = 4 sin (3x+1)  + (12x – 6 ) cos (3x + 1)

Contoh Soal Ke- Delapan

Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 3 sin x cos x !

Penyelesaian:

f(x) = 3 sin x cos x kita misalkan dahulu dengan

u = 3 sin x ⇒ u’ = 3 cos x

u=cos x ⇒ u’=-sin x

Diketahui :

f’ (x) = u’.u + u’.u

f’ (x) = 3 cos x . cos x + (-sin x) . (3 sin x)

f’(x)=3 cos² x –3 sin²x

f’(x)=3 (cos² x -sin² x)

f’ (x) = 3.cos 2x

Untuk menyelesaikan persoalan sejenis di atas, ada lho cara singkat yang lebih mudah dan cepat. Perhatikan ulasannya di bawah ini ya!

Sin 2x = 2 sin x . cos x. sehingga berlaku untuk

f(x) = 3 sin x cos x

f(x) = . 2.sin x . cos x

=

Sehingga :

f’(x) =

= 3 cos 2x. hasilnya sama namun lebih cepat dan sederhana bukan?

Nah, itu dia ulasan seputar turunan fungsi trigonometri lengka dengan rumus serta contoh soalnya ya. Semangat belajar everyone!