Pertidaksamaan Linear

Materi Pertidaksamaan Linear – Saat memasuki jenjang sekolah SMP dan SMA, salah satu materi pembelajaran Matematika yang akan diberikan adalah persamaan dan pertidaksamaan linear. Dalam materi pertidaksamaan linear dibagi menjadi 2 macam, yakni pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV) dan sistem pertidaksamaan linear dua variabel (SPtLDV).

Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtSLDV)

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang hanya memiliki satu variabel serta berderajat satu dan memuat hubungan (<,>, <, atau >). Berikut ini contoh kalimat PtLSV:

• X > 8
• 3x – 3 < 9
• 3b > b + 5
• 4n – 2 < 4n + 1

Dari beberapa contoh kalimat di atas, terdapat tanda seperti <, >, >, < yang menandakan jika kalimat tersebut adalah pertidaksamaan.

Bentuk umum PtLSV dalam variabel biasanya dinyatakan seperti berikut:

Ax + b > 0, ax + b < 0, atau ax + b > 0, ax + b < 0 dengan a < 0 dan a serta b adalah bilangan real.

Untuk lebih jelasnya, berikut adalah contoh PtLSV yang menggunakan variabel x:

• 4x – 2 < 0
• 6x – 2 > 8
• 3x + 2 > 3x – 3
• 8 < 2 (x + 2)

Sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan linear satu variabel, Anda bisa menggunakan cara subtitusi. Namun dalam praktik mudahnya, Anda juga bisa menggunakan cara pengurangan, penjumlahan, pengalian atau pembagian dari kedua ruas pertidaksamaan dengan menggunakan bilangan yang sama.

Seperti pada contoh A < B, PtLSV x dan C adalah konstanta tidak nol.

Pertidaksamaan A < B ekuivalen dengan:

• A + C < B + C
• A – C < B – C
• A x C < B x C, jika C > pada seluruh x
• A x C > B x C, jika C < 0 pada seluruh x
• A/C < B/C, jika C > 0 pada seluruh x
• A/C > B/C, jika C < 0 pada seluruh x

Sifat pertidaksamaan di atas juga berlaku untuk lambang “<” dan “>”.

Contoh Soal PtLSV Lengkap dengan Cara Penyelesaiannya

Untuk memperjelas materi pertidaksamaan linear satu variabel di atas, Anda bisa mempelajari contoh soal PtLSV di bawah ini.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan pertidaksamaan berikut ini:

X + 3 < 8, dengan x merupakan variabel dari bilangan bulat.

• X = 1, sehingga 1 + 3 < 8 , nilainya benar
• X = 2, sehingga 2 + 3 < 8, nilainya benar
• X = 3, sehingga 3 + 3 < 8, nilainya benar
• X = 4, sehingga 4 + 4 < 9, nilainya salah

Pengganti x yang benar adalah 1, 2, 3, jadi pertidaksamaan x + 3 < 8 dapat diselesaikan dengan angka tersebut.

2. Perkalian atau Pembagian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

Berikut ini adalah contoh PtLSV untuk kelas 10.

Perhatikan pertidaksamaan berikut:

-x > -5, dengan x merupakan bilangan asli kurang dari 8. Pengganti x yang benar adalah x = 1, x = 2, x = 3 serya x =4.

Cara lain untuk mengerjakan soal di atas adalah dengan mengalikan kedua ruas menggunakan bilangan negatif yang sama, seperti:

-x > -5

= -1(-x) > -1(-5), kedua ruas pada kalimat tersebut dikalikan dengan -1 tanpa mengubah

Tanda pertidaksamaannya.

X > 5

Penyelesaiannya yaitu dengan x = 6 atau x = 7.

* –x > –5

–1(–x) < –1(–5), kedua ruas pada kalimat tersebut dikalikan dengan angka –1 dengan mengubah tanda pertidaksamaan dari > menjadi <.

x < 5

Penyelesaiannya yakni x = 1, x = 2, x = 3, atau x = 4.

Dari penyelesaian di atas, pertidaksamaan yang memiliki penyelesaian sama ialah:

–x > –5 dan –1(–x) < –1(–5)

Sehingga, –x > –5 <=> –1(–x) < –1(–5)

Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Sistem Pertidaksamaan linear dua variabel adalah kalimat terbuka matematika yang memuat dua variabel. Masing-masing variabelnya berserajat satu dan dihubungkan menggunakan tanda pertidaksamaan, yakni >, <, >, <.

Bentuk pertidaksamaan linear dua variabel ini bisa dituliskan seperti berikut:

• ax + by > c
• ax + by < c
• ax + by > c
• ax + by < c

Bentuk SPtLDV tersebut bisa dituangkan dalam contoh kalimat matematika seperti:

• 4x – y < 10
• 2x + 3y > 7

Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)

Dalam praktik penyelesaian SPtLDV, biasanya berupa daerah penyelesaian, yang bisa berwujud daerah arsir ataupun daerah bersih yang dibagi menggunakan garis lurus. Langkah menentukan daerah penyelesaian SPtLDV sendiri bisa dilakukan dengan mengikuti langkah berikut:

1. Ubah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi (=), dengan begitu Anda akan mendapatkan persamaan linear dua variabel.
2. Membuat grafik dari pertidaksamaan linear dua variabel, yakni dengan menentukan titik potong sumbu x serta sumbu y dari kalimat persamaan. Anda juga bisa menggunakan dua titik sembarang yang dilewati oleh garis, selanjutnya garis akan membagi dua bidang kartesius.

3. Lakukan pengujian pada titik yang dilewati garis (substitusi x dan y ke pertidaksamaan). Jika pernyataanya benar, artinya daerah tersebut merupakan area penyelesaiannya, atau bisa juga sebaliknya.

Untuk lebih jelasnya, Anda bisa mempelajari pertidaksamaan berikut, yang mana peubah bebas adalah linear.

• 3x > 4, merupakan pertidaksamaan linear satu peubah
• 4x + y < 0, merupakan pertidaksamaan linear dua peubah
• X – 2y < 4, merupakan pertidaksamaan linear dua peubah
• X + y – 4 z > 1, merupakan pertidaksamaan linear tiga peubah.

Disini yang akan dibahas adalah pertidaksamaan linear dua peubah yang banyak keluar pada soal-soal ujian.

Contoh kalimat sistem pertidaksamaan linear dua peubah tanpa kuadrat adalah:

• 3 x + 6y > 20
• X – y < 2

Contoh Soal Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel beserta Pembahasannya

Dalam soal ujian, biasanya materi SPtLDV akan keluar dalam bentuk cerita. Sehingga dari sini siswa juga harus belajar mencari kalimat pertidaksamaan untuk selanjutnya bisa menyelesaikan soal yang diuji.

Berikut Contoh Soal SPtLDV dan penyelesaiannya:

Seorang penjual buah mendapatkan uang senilai Rp. 170.000,- dari penjualan 3kg mangga, 5 kg jeruk. Sementara untuk penjualan 4kg mangga dan 2kg jeruk, ia mendapatkan uang senilai Rp. 180.000. Jika ia memiliki 20kg mangga dan 30kg jeruk, berapa uang yang didapatkan?

a. 1.350.000,-

b. 1.150.000,-

c. 1.100.000,-

d. 1.000.000,-

Jawab:

Buat perumpamaan mangga = x, dan jeruk = y

Ditanyakan: 20x + 30y = …

Model matematika:

3x + 5y = 170.000

4x + 2y = 180.000

Lakukan eliminasi persamaan (1) dan (2):

3x + 5y = 170.000 |x4| 12x + 20y = 680.000

4x + 2y = 180.000 |x3| 12x +   6y = 540.000 –

# 14y = 140.000

# y = 140.000/14

Y = 10.000

Subtitusiakn nilai y = 10.000 ke dalam salah satu persamaan:

3x + 5y = 170.000

3x + 5(10.000) = 170.000

3x + 50.000 = 170.000

3x = 170.000 – 50.000

3x = 120.000

X = 120.000/3

X = 40.000

Jadi nilai penjualan untuk 1kg mangga adalah Rp. 40.000, sementara 1kg jeruk adalah

Rp. 10.000. Sehingga:

20x + 30y = 20(40.000) + 30(10.000)

= 800.000 + 300.000

= 1.100.000.

Jadi jawaban yang benar adalah C.

Bagaimana, mudah bukan? Untuk lebih memahami materi pertidaksamaan linear, Anda bisa belajar contoh-contoh kalimat pertidaksamaan dan mengerjakan soal-soal latihannya.